山东省泰安市2023届高三下学期4月二轮检测（二模）数学试题（含答案）

泰安市2023届高三下学期4月二轮检测（二模）
数学试题
2023.04
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则集合B可能是
A. B. C. D.
2.若复数z满足（i是虚数单位），则
A. B. C. D.
3.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
A.160 B.163 C.166 D.170
4.已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，已知圆，若直线上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线，，切点分别为M，N，且使得四边形为正方形，则正实数m的值为
A.1 B. C.3 D.7
6.已知奇函数在R上是减函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为.已知盆中有积水，将一半径为1的实心铁球放入盆中之后，盆中积水深变为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为
A. B. C. D.
8.已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.随机变量且，随机变量，若，则
A. B. C. D.
10.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数
A.是奇函数 B.图象关于直线对称
C.在上是减函数 D.在上的值域为
11.如图，在直三棱柱中，，，，点M在线段上，且，N为线段上的动点，则下列结论正确的是
A.当N为的中点时，直线与平面所成角的正切值为
B.当时，平面
C.的周长的最小值为
D.存在点N，使得三棱锥的体积为
12.已知函数，.
A.若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，
B.当且时，函数在上单调递增
C.当时，若函数有三个零点，则
D.当时，若存在唯一的整数，使得，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.（用数字作答）
14.已知，则_______.
15.若m，n是函数的两个不同零点，且m，n，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.
16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.
（1）求；
（2）若点D在的外接圆上，且，求的长.
18.（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.（12分）
已知数列的前n项和为，，，.
（1）求；
（2）设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的取值范围.
20.（12分）
2022年11月，《2021年全国未成年人互联网使用情况研究报告》发布.报告显示，2021年我国未成年网民规模达1.91亿，未成年人互联网普及率达96.8%.互联网已成为未成年人学习，娱乐，社交的重要工具.但与此同时，约两成的未成年网民认为自己对互联网存在不同程度的依赖.某中学为了解学生对互联网的依赖情况，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：
一个袋子中装有5个大小相同的小球，其中2个黑球，3个红球.所有学生从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”
方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
方式②：若你对互联网有依赖，则在问卷中画“√”，否则画“×”.
当所有学生完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得高一年级学生对互联网依赖情况的估计值.
（）
（1）若高一（五）班有50名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望；
（2）若所有调查问卷中，画“√”与画“×”的比例为1：2，试估计该中学高一年级学生对互联网的依赖率.（结果保留两位有效数字）
21.（12分）
已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）.
（1）求直线l的倾斜角的取值范围；
（2）求的值.
22.（12分）
已知函数，.
（1）当时，讨论方程解的个数；
（2）当时，有两个极值点，，且，若，
证明：
（i）；
（ii）.
数学试题参考答案及评分标准
2023.04
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B C D D B
二、选择题：
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BD BCD
三、填空题：
13.312 14. 15.20 16.
四、解答题：
17.（10分）
解：（1）方法一：
在中，由余弦定理得，
即
解得（舍）或
，
由正弦定理得，.
方法二：
中，
.
由正弦定理得，
.
（2）连接
又，
，
设
在中，由余弦定理得，，
.
18.（12分）
解：（1）为等边三角形，D为中点
又，，，平面
平面
平面
取中点G，连接
为等边三角形
平面平面，平面平面，平面.
平面
平面
与相交，，平面
平面
（2）以C为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴，过C且与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
设，则
，
设面的一个法向量为
则即
取，解得
取平面的一个法向量为，则
解得，此时
在线段上存在点F使得平面与平面的夹角为，且.
19.（12分）
解：（1）
又，，
数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列
当时，
当时，
综上，，
（2）方法一：
，
，，
（2）方法二：
，
，
20.（12分）
解：（1）每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率
每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率
由题意知，高一五班50名学生按方式①回答问卷的人数，
X的数学期望
（2）记事件A为“按方式①回答问卷”，事件B为“按方式②回答问卷”，事件C为“在问卷中画‘√’号”.
由（1）知，，
由全概率公式得，
由调查问卷估计，该中学高一年级学生对互联网的依赖率约为18%.
21.（12分）
解：（1）
将代入，解得
抛物线C的方程为
直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点，
直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为
由得，
且即
且
，
，
点E，F均在y轴上
，均与y轴相交
直线l不过点
k的取值范围为且且
直线l的倾斜角的取值范围为.
（2）设
M，A，B三点共线
，
，
由（1）知，
且
直线的方程为
令得
同理可得，
.
22.（12分）
解：（1）方法一：
设，则
设，则
单调递减
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
当时，方程有一解，当时，方程无解
方法二：
设，则
设，则
单调递增
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
方程有一解.
当时，
无解，即方程无解
综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．
（2）（i）当时，，则
，是方程的两根
设，则
令，解得，
在上单调递减，在上单调递增
，
当时，，
由得
令
，
等价于
设，，则
单调递增
，即
综上，，
（ii）由（i）知，，
由（i）知，
设，，则
单调递减
，即
设，，
则
单调递增
又
当时，

山东省泰安市2023届高三下学期4月二轮检测（二模）数学试题（含答案）