安徽省芜湖市镜湖区重点中学2022-2023高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）

镜湖区重点中学2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学
满分：150分考试时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.在的二项展开式中，项的系数为（ ）
A.6 B.4 C.2 D.1
2.已知函数在处可导，若，则（ ）
A.1 B. C.2 D.8
3.曲线在处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
5.设，且，若能被13整除，则（ ）
A.0 B.1 C.11 D.12
6.据说，笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的极坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣.某同学利用GeoGebra电脑软件将两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图是导函数的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A.函数在区间上单调递减
B.函数在区间上单调递增
C.函数在处去取极大值
D.函数在处取极小值
11.2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道处，小华在如图的街道处，老年公寓位于如图的处，则下列说法正确的个数是（ ）
A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C.小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D.小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件：小明经过，事件：从到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
12.函数，下列说法正确的是（ ）
A.存在实数，使得直线与相切也与相切
B.存在实数，使得直线与相切也与相切
C.函数在区间上单调递减
D.函数在区间上有极大值，无极小值
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设离散型随机变量的概率分布列为：则__________.
-1 0 1 2 3
14.“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为__________.
15.设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒 3盒 2盒依次是甲厂 乙厂 丙厂生产的.且甲 乙 丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为__________.
16.设实数，若不等式恰好有四个整数解，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应有必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求既有豆沙粽又有白粽的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列.
18.设某厂有甲 乙 丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，并且各车间的次品率依次为.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
19.已知函数，且.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
20.已知，其中，且，
（1）求的值；
（2）求的值.
21.已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
22.已知函数有零点
（1）求实数的取值范围
（2）求证：
参考答案：
1.A
【详解】展开式的通项为，
令，则，所以项的系数为.
故选：A.
2.B
【详解】
.
故选：B
3.C
【详解】的导数为，在点处的切线斜率为，
即有在点处的切线方程为，即.
故选：C
4.B
【详解】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有种不同的排法，选B.
5.D
【详解】
因为能被13整除，所以能被13整除
因为，且，所以，
故选：D
6.A
【详解】因为，所以的图象在轴及下方，
当时，由图象知单调递增，所以，故排除BC；
又当且时，图象越来越“陡”，即增长越来越快，
故函数导数越来越大，据此排除D.故选：A
7.D
【详解】设
则，
令，
因为在上单调递增，在上单调递减，则在上
单调递减
由，所以，
所以当，所以在上单调递增，
当，所以在上单调递减，
又，
从而即在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，即，
即，
构建，则，
令，则，
当时，，则在单调递增，
所以，即，
故在上单调递增，则，
故在恒成立，
取，可得，
而由为锐角时，可知，，
由不等式传递性知，
综上可得：.
故选：D.
8.B
【详解】对任意，若不等式恒成立，
即，即，
设，则，
当时，在时单调递减，
当时，在时单调递增，
故当时，取得极小值也是最小值，即，
令，则，所以恒成立，
设，
故是单调递增函数，故，
所以，又因为，
所以的取值范围为，
故选：B
9.BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
正确故选：BCD.
10.BD 结合图像，易知选BD.
11.BCD
【详解】由图可知，要使小华 小明到老年公寓的路径最短，则只能向上 向右移动，而不能向下 向左移动，
对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以错误，
对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以正确，
对于C，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以正确，
对于D，由题意知：事件的走法有18条，
即，事件，
所以，所以D正确.
故选：BCD
12.AB
【详解】设直线分别与与分别相切于点，
则且，
所以且，
化简得，解得或，
当时，可得，即切线的斜率为，且，即切点坐标为，
此时切线的方程为；
当时，可得，即切线的斜率为，且，
即切点坐标为，此时切线的方程为，即，
故公切线方程为或，所以选项正确；
令，可得，
令，可得，
所以单调递增，即单调递增，
又由，因为，所以，
即时，，所以在区间上单调递增，
所以C错误；
由知，函数单调递增，所以函数无极值，所以错误.
故选：.
13.
【详解】由题意可知，
故答案为：
14.60
【详解】由题意，先从5名同学中选择3人，共有种不同的选法，
再把选出的3人分别参加数学 物理 化学竞赛，共有种不同的安排方法，
由分步计数原理，可得共有种不同的选法.
故答案为：60.
15.
【详解】设“任取一个光片为次品”，“光片为某厂生产”（甲 乙 丙厂依次对
应）则，且两两互斥.
由题意可得：
16.
【详解】解：因为不等式恰好有三个整数解
所以不等式恰好有三个整数解，即恰好有三个整数解，
令，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，不等式恰好有三个整数解，即恰好有三个整数解，
令，则，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减，
因为，
所以，作出函数的图象如图所示，
所以，要使恰好有四个整数解，则，即，
所以，实数的取值范围为
故答案为：
17.【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.
（2）的可能取值为，
则，
所以的分布列如下：
0 1 2
18.（1）取到次品的概率为
（2）若取到的是次品，则：
此次品由甲车间生产的概率为：.
此次品由乙车间生产的概率为：.
此次品由丙车间生产的概率为：.
19.（1）；
（2）最大值为2，最小值为.
【详解】（1）因为，故，解得，
因为，所以，
则所求切线的斜率为，且，
故所求切线方程为，即；
（2）因为，
所以，
令，得舍去，
由，可得，函数单调递减，
由，可得，函数单调递增，
所以的极小值为，又，
所以的最大值为2，最小值为.
20.（1）当时，，
当时，，①
当时，，②
②-①得，，因为
②由①可知
，于是
21.试题解析：（1）的定义域为，
，
（i）若，则，
所以在单调递减.
（ii）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ii）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，
即，故没有零点；
③当时，，即.
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
22.解：（1）
①若时，对任意恒成立
.则在上单调递增，且，不存在零点.
②若时，，即，
解得.
（i）当，即时，在上单调递减，，不存在.
（ii）当，即时，在上单调递增；在单调递减.所以，
令在上单调递减，则.
综上所述，实数的取值范围为.
（2）因为
要证，即证
令.
，
所以在单调递减，，
所以在单调递减，
，右边不等式得证.
由（1）中为的零点，考查
，
令.那么
，
所以在单调递增
，所以，所以，即.
又因为在单调递增，在单调递减，又因为，又因为，
又，右得证.

安徽省芜湖市镜湖区重点中学2022-2023高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）