2022-2023江苏省常州市溧阳市名校高二（下）调研数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市溧阳市名校高二（下）调研数学试卷（4月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 可表示为( )
A. B. C. D.
2. 若平面，的法向量分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 根据组合数的性质可知，( )
A. B. C. D.
4. 从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
5. 将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件“”，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥中，点为的中点，点为底面的重心，设，，，则向量( )
A. B.
C. D.
7. 某次考试共有道单选题，某学生对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为若从这道题中任选道，则这个学生道题全做对的概率为( )
A. B. C. D.
8. 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，当鳖臑体积最大时，直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 从名男生、名女生中选人分别担任班长和副部长，要求选出的人中至少有一名男生，则不同的方法数为( )
A. B. C. D.
10. 已知，则( )
A. B.
C. D.
11. 假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布单位：，生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则( )
附：随机变量，则，，．
A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为
B. 生产线乙的食盐质量
C. 生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常是合理的
12. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有( )
A. B. 时，
C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在棱长为的正方体中，为棱上任意一点，则 ______ ．
14. 展开式中含项的系数为 ．
15. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有个零件小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取包产品，再从该包产品中随机抽取个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购假设该企业这批产品中，每包产品均含个或个二等品零件，其中含个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ．
16. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列现连续发射信号次，每次发射信号“”和“”是等可能的记发射信号“”的次数为．
当时， ______ ；
已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，估计信号发射次数的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在，，，，这个自然数中，任取个不同的数．
求这个数中恰有个奇数的概率；
设为所取的个数中奇数的个数，求随机变量的概率分布及均值．
18. 本小题分
已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数相等．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中的常数项．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，．
求到平面的距离；
求平面与平面的夹角的正弦值．
20. 本小题分
求证：；
求和：；
求证：当随机变量时，．
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点不含端点．
若是棱的中点，求的余弦值；
求与平面所成角的正弦值的最大值．
22. 本小题分
法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布．
已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量利用该结论解决下面问题．
假设面包师的说法是真实的，随机购买个面包，记随机购买个面包的平均值为，求；
庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，天后，得到的数据都落在上并经计算个面包质量的平均值为庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；
假设有两箱面包面包除颜色外，其他都一样，已知第一箱中共装有个面包，其中黑色面包有个；第二箱中共装有个面包，其中黑色面包有个现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出个面包求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．
附：
随机变量服从正态分布，则，，；
通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了排列及排列数公式，属于基础题．
把给出的式子变形为，然后结合排列数公式得答案．
【解答】
解：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，的法向量分别为，，并且，
，存在实数使成立，
，解得
故选：．
由题意可得，可得的方程，解方程可得．
本题考查空间向量的平行和平面的法向量，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据组合数的性质知，
．
故选：．
根据组合数的性质，化简求解即可．
本题考查了组合数的性质与应用问题，基础题．
4.【答案】
【解析】解：甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有：种；
甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有：种；
甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有种．
故选：．
分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果．
本题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数．
共有个基本事件，
，
而、同时发生，基本事件有当一共有个基本事件，
，
因此，在事件发生的情况下，发生的概率为．
故选：．
根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件的概率与事件、同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得的值．
本题给出掷骰子的事件，求条件概率．着重考查了随机事件的概率公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图，因为点为的重心，
所以，
故
，
故选：．
利用重心的性质、及空间向量的加减运算法则，即可求解．
本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设事件表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则，
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故．
故选：．
根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：在堑堵中，，，，当鳖臑体积最大时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
．
直线与平面所成角的余弦值为．
故选：．
当鳖臑体积最大时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．
本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：从名男生、名女生中选人分别担任班长和副部长，要求选出的人中至少有一名男生，则不同的方法数为，所以C正确；
也可以用所有的安排方法减去只有女生的方法数即：，所以、D正确；
故选：．
按照题目的要求，分两种类型：一男一女；两名男生；然后安排任务；也可以通过所有的安排方法减去只有女生的方法数求解即可．
本题考查排列组合的简单应用，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：：令，则，故A正确；
：展开式中含的项为，所以，故B错误；
：令，则，故C正确；
：因为的和为的展开式的各项系数和，
令，则，故D正确．
故选：．
：令即可判断求解；：根据二项式定理求出展开式中含的项，进而可以判断；：令即可判断；：因为的和为的展开式的各项系数和，令即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，
其中，其中，，
则，故A正确；
对于，随机变量服从正态密度函数，可知，，，
所以生产线乙的食盐质量，故B错误；
对于，不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误；
对于，，说明生产线甲抽到质量大于的可能性很低，
所以随机抽取两包质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确．
故选：．
根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项．
本题考查了正态分布密度曲线的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，由概率的基本性质可知，，故A正确；
对于选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
，
，
，
所以，故B正确；
对于，选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确；
当时，为正负交替的摆动数列，故选项D不正确．
故选：．
选项A利用概率的基本性质即可，选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析选项C，根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可．
本题考查了二项分布，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，为棱上任意一点，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合空间向量的数量积公式，以及向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：的展开式中含项为，
故答案为：．
根据二项式定理逐步展开，分析即可．
本题考查了二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，该企业这批产品中，含个二等品零件的包数占，则含个二等品零件的包数占，
在含个二等品零件产品中，随机抽取个零件，若抽取的个零件都是一等品，其概率，
在含个二等品零件产品中，随机抽取个零件，若抽取的个零件都是一等品，其概率，
则小张决定采购该企业产品的概率；
故答案为：．
根据题意，分析可得含个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．
本题考查相互独立事件和互斥事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由已知，
所以；
由已知，所以，，
若，则，即，
即．
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为．
故答案为：；．
根据二项分布公式计算；
运用二项分布公式算出和，再根据题意求出中的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解．
本题考查了二项分布的概率计算以及期望和方差的应用，属于中档题．
17.【答案】解：在，，，，这个自然数中，个奇数，个偶数，
任取个不同的数，记事件“两个数中恰有个奇数”，则
所以，这两个数中恰有个奇数的概率为．
为所取的个数中奇数的个数，可能得取值为，，，
，，，
随机变量的概率分布列为：
随机变量的均值：．
【解析】说明个奇数，个偶数，记事件“两个数中恰有个奇数”，利用古典概型概率公式求解即可．
可能得取值为，，，求出概率，得到分布列，然后求解期望．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．
18.【答案】解：第项与第项的二项式系数相等，
，得，
，即，
则展开式中二项式系数最大的项为；
即，
展开式中的常数项为．
【解析】由已知列式求解，进一步可得展开式中二项式系数最大的项；
由二项展开式求展开式中的常数项．
本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：因为平面，
所以是三棱锥的高，
根据题意，，
设到平面的距离为，
由，得，
代入数据，得，
所以到平面的距离为．
由平面，，平面，
，，
又，，则，
，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
，则平面与平面的夹角的正弦值为．
【解析】设到平面的距离为，根据等体积建立关于的方程，解出即可．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设平面与平面的夹角为，则代入求解．
本题考查等体积法的运用以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】证明：，
所以，原式即可得证；
解：，
则；
证明：
，
原式即可得证．
【解析】根据组合数公式即可得证；
根据组合数公式即可得解；
根据期望和组合数公式即可得证．
本题考查了离散型随机变量的期望和组合数公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：平面，，平面，
，，又，
、、两两垂直，
分别以，，所在直线为，，轴，建系如图，
则，，，
，，，
当为中点时，，则，，
，
的余弦值为；
，设，则，
设平面的一个法向量为
则，取，
又，设与平面所成角为，
则，
令，当，，
即时，有最大值，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
【解析】建系，利用向量法及向量夹角公式，即可求解；
建系，利用向量法，向量夹角公式，函数思想，即可求解．
本题考查向量夹角公式的应用，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：，，
，，
，．
，
庞加菜计算个面包质量的平均值为，，
而，为小概率事件，
小概率事件“”发生，所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报．
由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为，，，
设“所取两个面包来自第箱”，所以，
设“所取两个面包有各黑色面包”，
由全概率公式，，，
所以黑色面包个数的分布列为：
所以．
【解析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解；
结合第一问求解的概率，以及小概率事件进行说明，即可求解；
设取出黑色面包个数为随机变量，则所有可能取值为，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
第1页，共1页

2022-2023江苏省常州市溧阳市名校高二（下）调研数学试卷（4月份）（含解析）