黑龙江省七台河市勃利县中2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含答案）

勃利县中2022-2023学年度第二学期期中考试
高二数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分
(时间：120分钟　满分：150分 )
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一．单选题：（共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　)
A.24种 B.10种 C.9种 D.14种
2．从5名候选人中选派出3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方案有(　　 ) A．36种 B．48种 C．56种 D．64种
3．1－2Cn1＋4Cn2－8Cn3＋…＋(－2)nCnn＝(　　)
A．1 B．－1
C.(－1)n D．3n
4.如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》,这首诗不仅意境极好,而且还准确地描述出了清明时节的天气状况,那就是“雨纷纷”,即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率是(　　)
A.0.7 B.0.9 C.0.63 D.0.567
5．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(　　)
A．240种 B．120种
C．188种 D．156种
6．复学后，某学校贯彻“科学防疫”，实行“戴口罩，间隔(不相邻)坐”．一排8个位置仅安排小华、小明等4名同学就座，且小华要坐在小明左侧，则不同的安排方法种数为(　　)
A．60 B．160
C．120 D．30
7．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为(　　)
A. B.
C. D.
8.已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若该动点从原点出发,经过6步运动到点(6,2),则不同的运动轨迹有(　　)
A.15种 B.14种 C.103种 D.9种
多选题：（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9.已知首项为正数的数列{an}为等差数列，且(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)<0，则(　　)
A．S12>0 B. a6>0
C．S13>0 D. a6＋a7>0
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　)
A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法
B．某学生从中选5门，共有6种选法
C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
11．若二项式(＋x)n的展开式共有9项，则(　　)
A．n＝8 B．n＝9
C．第5项为2 520x4 D．展开式中常数项是16
12．已知函数f(x)＝kx2－ln x，使f(x)>0在定义域内恒成立的充分不必要条件是(　　)
A. B.
C. D..
第Ⅱ卷（共90分）
填空题：(本大题共4小题，每题5分，共计20分)
13.已知随机变量X,Y满足:X～B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)=,则D(Y)=_______
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.
盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取2个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后再放回,此时盒中黑球的个数为X,则P(X=3)=________,E(X)=________.
已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
四、解答题：（本大题共6小题，共计70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.(10分)(1)设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，求a0＋a2＋a4＋…＋a2n是多少；
(2)设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a1＋a2＋…＋an＝728，求展开式中二项式系数最大的项是多少．
18.(12分)2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，研发了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；
(3)若该产品的质量指标值m与每件产品的利润y(单位：元)的关系如下表(1<t<4)：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
利润y(元) 6t 8t 4t 2t －et
试写出每件产品的平均利润的解析式．
19.(12分)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．
20．(12分)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，____________.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.(12分)2020年春节期间,湖北武汉暴发了新型冠状病毒肺炎疫情,国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩,一时间各种品牌的口罩蜂拥而出,为了保障人民群众生命安全和身体健康,C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩,检测其质量指标.
质量指标 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50]
频数 10 20 30 25 15
(1)求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)①已知口罩的质量指标值Z服从正态分布,利用该正态分布N(μ,σ2),求Z落在(26.5,50.4)内的概率;
②将频率视为概率,若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩,记这3包口罩中质量指标值位于(30,50)内的包数为X,求X的分布列和方差.
附:①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为σ=
≈11.95;
②若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)=0.682 7,
P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)=0.954 5.
22(12分).已知函数，.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数.当时，若区间[1, e]上存在，使得，求实数m的取值范围.（e为自然对数底数）勃利县中2022-2023学年度第二学期期中考试
高二数学答案
一、单选
D 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D
二、多选
ABD 10.BCD 11. ACD 12.BD
三、填空
14. 7 15.　 16. c<a<b
四、解答题
17.　(1)在(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n中，
令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n，
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，
所以3n＋1＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n)＋(a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n)．
所以3n＋1＝2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)．
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝.
(2)由题可知，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋an＝3n，
(1＋2x)n的展开式中，通项公式为Tr＋1＝Cnr2rxr，
则常数项对应的系数为a0，即r＝0，得a0＝Cn0·20＝1，
所以a1＋a2＋…＋an＝3n－1＝728，解得n＝6.
则(1＋2x)6的展开式中二项式系数最大为C63，
则二项式系数最大的项为C63·23x3＝160x3.
18.(1)由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，
则P(A)＝1－C33(0.3)3＝1－0.027＝0.973.
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4；
m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；
m∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件．
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与每件产品的利润y(元)的关系如下表所示(1<t<4)：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
利润y(元) 6t 8t 4t 2t －et
频率 0.05 0.1 0.15 0.4 0.3
故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1<t<4)．
19.解　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0,3]时，
f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2恒成立，
所以9＋8c＜c2，
解得c＜－1或c＞9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
20．解　方案一：选条件①.
(1)∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d>1，
∴
解得或(舍去)．
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N*.
(2)∵cn＝，∴cn＝＝(2n－1)×n－1，
∴Tn＝1＋3×＋5×2＋…＋(2n－3)×n－2＋(2n－1)×n－1，①
∴Tn＝＋3×2＋5×3＋…＋(2n－3)×n－1＋(2n－1)×n，②
①－②得Tn＝1＋2－(2n－1)×n
＝1＋2×－(2n－1)×n
＝3－(2n＋3)×n，
∴Tn＝6－(2n＋3)×n－1，n∈N*.
方案二：选条件②.
(1)∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d>1，
∴
∴
解得
或(舍去)，
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*，
bn＝b1qn－1＝2n－1 ，n∈N*.
(2)∵cn＝，
∴cn＝＝(2n－1)×n－1 ，
∴Tn＝1＋3×＋5×2＋…＋(2n－3)×n－2＋(2n－1)×n－1，①
∴Tn＝＋3×2＋5×3＋…＋(2n－3)×n－1＋(2n－1)×n，②
①－②得Tn＝1＋2－(2n－1)×n
＝1＋2×－(2n－1)×n
＝3－(2n＋3)×n，
∴Tn＝6－(2n＋3)×n－1，n∈N*.
方案三：选条件③.
(1)∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d>1，
∴
解得
或(舍去)，
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N*.
(2)∵cn＝，
∴cn＝＝(2n－1)×n－1，
∴Tn＝1＋3×＋5×2＋…＋(2n－3)×n－2＋(2n－1)×n－1，①
∴Tn＝＋3×2＋5×3＋…＋(2n－3)×n－1＋(2n－1)×n，②
①－②得Tn＝1＋2－(2n－1)×n
＝1＋2×－(2n－1)×n
＝3－(2n＋3)×n，
∴Tn＝6－(2n＋3)×n－1，n∈N*.
21.(1)所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数为
=(5×10+15×20+25×30+35×25+45×15)=26.5.
(2)①因为Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,
σ≈11.95,P(26.5<Z<50.4)=P(26.5<Z<26.5+2×11.95)=×0.954 5=0.477 25,
所以Z落在(26.5,50.4)内的概率是0.477 25.
②根据题意得X～B,
P(X=0)==,
P(X=1)=··=,
P(X=2)=··=,
P(X=3)==.
所以X的分布列为:
X 0 1 2 3
P
D(X)=3··=.
22.解：（Ⅰ），
因为曲线在点处的切线与直线的垂直，
所以，即，解得.
所以.
∴当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
∴当时，取得极小值，
∴极小值为.
（Ⅱ）令，
则，欲使在区间上上存在，使得，
只需在区间上的最小值小于零.
令得，或.
当，即时，在上单调递减，则的最小值为，
∴，解得，
∵，∴；
当，即时，在上单调递增，则的最小值为，
∴，解得，∴；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
∵，∴.
∴，此时不成立.
综上所述，实数的取值范围为.

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