北京市重点中学2022-2023高二下学期期中测试数学试题（含解析）

高二数学测试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合，，则A∪B=()
A.[0，1) B.[0，1] C.(-1，3] D.(-1.3)
(2)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，-1)，则()
A. B. C. D.
(3)在等差数列}中，，，则=()
A.9 B.11 C.13 D.15
(4)已知双曲线的离心率是2，则b=()
A.12 B.2 C. D.
(5)若点M(1，1)为圆C：的弦AB的中点，则直线AB的方程是()
A. B. C. D.
(6)已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则()
A. B. C. D.3
(7)函数的图象可能是()
A. B. C. D.
(8)设是等差数列，其前n项和为，则”是“为递增数列”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(9)函数，若存在，，...，∈[0，]，使得
，则n的最大值是()
A.8 B.1 C.14 D.18
(10)n名学生参加某次测试，测试由m道题组成.若一道题至少有n名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了m道题，则该生本次测试成绩合格，如果这次测试至少有n名学生成绩合格，且测试中至少有m道题为难题，那么mn的最小值为()
A.6 B.9 C.18 D.27
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
(11)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0，m]上
的最小值为g(0)，m的最大值为___________.
(12)已知椭圆C：，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则△ADE的周长是___________.
(13)已知函数和，若存在实数a使得，则实数b的取值范围为__________.
(14)声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.
(1)若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为，，甲、乙声波合成后的数学模型为.要使恒成立，则φ的最小值为___________；
(II)技术人员获取某种声波，其数学模型记为H(t)，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为f(t)和g(t)，满足.已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.
①；②；③；④.
则，两种声波的数学模型分别是__________.(填写序号)
(15)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且，PD=AD，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥OE；②FC=PO；③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；④△AEC面积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
(16)(本小题13分)在△ABC中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求:
(Ⅰ)b的值；
(Ⅱ)∠A的大小和△ABC的面积条件①:；条件②:.
注:如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.
(17)(本小题13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，，.
(1)求证:AC⊥平面BDE；
(II)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(III)求点D到平面ABE的距离.
(18)(本小题14分)已知椭圆C：)，上下两个顶点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，，四边形B1F1B2F2是边长为的正方形，过作直线l交椭圆于D，E两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(II)求证:四边形DB1B2E对角线交点的纵坐标与D，E两点的位置无关.
(19)(本小题15分)已知函数.
(1)若函数在区间(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(11)试判断1是不是函数的极值点，并说明理由；
(III)是否存在实数a，使得直线与曲线相切？若存在，直接写出满足条件的实数a的个数；若不存在，请说明理由.
(20)(本小题15分)已知数列A:，，...，，具有性质P：对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列A的前n项和.
(1)分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P；
(11)证明:且；
(III)证明:当时，，，，，成等差数列.
(21)(本小题15分)已知集合，若集合，且对任意的b∈M，存在)，使得(其中，则称集合A为集合M的一个m元基底.
(1)分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由:
①，；
②，.
(2)若集合是A集合M的一个m元基底，证明:；
(3)若集合A为集合的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A.
参考答案
(1)C
【分析】直接求并集得到答案.
【详解】集合，，则.
(2)A
【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为复数z对应的点的坐标为(1，-1)，则，所以.
(3)C
【分析】设等差数列的公差为d，求出2d的值，即可得出，即可得解.
【详解】设等差数列的公差为d，则，则.
(4)B
【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得.
(5)C
【分析】由垂径定理可知，求出直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方程.
【详解】圆C的标准方程方程为，∵，即点M在圆C内，圆心C(2，0)，，由垂径定理可知，则，故直线AB的方程为，即.
(6)A
【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得.
【详解】∵，，且与的夹角为，∴
∴，∴.
(7)D
【分析】先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
【详解】令，
因为，所以为奇函数，排除选项A，B；因为)时，，所以排除选项C，选D.
(8)C
【分析】先由进行化简，能推出，即{}为递增数列.
再由{}为递增数列，得，能推出，故“”是{}为递增数列”的充分必要条件.
【详解】设{}的公差为d，
充分性证明:由得:，即:.
所以{}为递增数列
必要性证明:由{}为递增数列得:，所以，
所以“”是{}为递增数列的充分必要条件.
(9)C
【分析】令，原方程可化为存在，，...，，
使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n的最大值.
【详解】因为存在，，...，，
使得，
故.
令，，则，
故，因为，
故，故.
(10)B
【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从，，进行讨论即可得出mn的最小值为9.
【详解】根据题意可知，，不妨，
所以，若求mm的最小值，只需最小即可；
易知当，即，
此时即有3名学生不妨设为甲、乙、丙:3道题目设为；；
根据题意可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，
可设甲同学做出了A，B两道题，乙同学做出了B，C两道题，丙同学做出了0道题，此时合格的学生为甲乙，即有n名学生成绩合格，
A，B，C三道题目中有A，C两道题，有n名学生未解出来，即满足测试中有m道题为难题；
所以符合题意.
(11)
【分析】利用函数的图象变换规律求得g(x)的解析式；再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则则在区间[0，m]上，，要使g(x)在区间[0，m]上的最小值为g(0)，则，解出则m的最大值为.
(12)13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，即，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程:，代入椭圆方程，整理化简得到:，利用弦长公式求得，得，根据对称性将□ADE的周长转化为△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，即，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵，，，∴，∴△AF1F2为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，DE为线段的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程:，代入椭圆方程，整理化简得到:，
判别式，
∴，
∴，得，
∵DE为线段的垂直平分线，根据对称性，，，
∴△ADE的周长等于的周长，
利用椭圆的定义得到周长为
，
故答案为:13.
(13)[-1，5]
【详解】当时，，
∴，
∴，当时，，∴，存在使，则，即，解得，故填[-1，5].
(14)π；②③
(15)①④【分析】①通过线面垂直证明线线垂直；
②通过计算可得到结果；
③通过线面角的定义与计算可得到结果；
④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围.
【详解】
由，得AC⊥平面PBD，因为OE 平面PBD，所以，①正确；
计算可得，，，，
，
，
，
所以，②不正确；
由线面角定义知，∠POD就是直线PO与底面ABCD所成的角，，③不正确；
由AC⊥平面PBD得，，，
，时|OE|最小，，④正确；
故答案为:①④.
(16)(Ⅰ)；(II)，。
【分析】选择①:
(Ⅰ)本题可根据，求出b的值；
(Ⅱ)本题首先可根据求出cosA的值，然后根据，求出角A，最后通过三角形面积公式即可得出结果.
选择②：
(Ⅱ)本题首先可根据，，求出sinC、sinB的值，然后根据即可求出b的值；
(II)本题首先可通过求出sinA的值，然后通过，求出sinA的值，最后通过三角形面积公式即可得出结果.
【详解】选择①:
(1)因为，
所以，即，
整理得，解得b=5或-3(舍去)，故.
(II)因为，，
所以，，；
选择②:
(1)因为，，，，
所以，，
因为，所以，即，解得.
(Ⅱ)因为，，，，
所以，
因为，，所以，
.
(17)(Ⅰ)证明见解析；(II)；(III).
【分析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC⊥BD，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
(II)利用空间向量的方法求线面角即可；
(III)利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【详解】(1)在三棱柱中，D，E为AC，的中点，
∴DE∥，
∵AA1⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ABC，
∵AC平面ABC，
∴，
在三角形ABC中，AB=BC，D为AC中点，
∴，
∵，DE，BD平面BDE，
∴AC⊥平面BDE
(II)
如图，以D为原点，分别以DA，DB，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形ABD中，，，
∴，
D(0，0，0)，E(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，
，，，
设平面ABE的法向量为，
，令，则，，
所以，
设直线DE与平面ABE所成角为θ，
所以，
(III)设点D到平面ABE的距离为d，所以.
(18)(1)；(2)见解析.
【分析】(1)求出a，b，c后可得椭圆的方程
(11)设直线DE：，D(x1，y1)，E(x2，y2)，则可用D，E的坐标表示直线与直线交点M的纵坐标，再联立DE的方程和椭圆的方程，消去x后，利用韦达定理化简，从而可得为定值.
【详解】(Ⅰ)因为四边形是边长为2的正方形，故，所以，
所以椭圆方程为:；
(Ⅱ)设直线DE：，D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则直线DB2：，EB1：，
由，可得直线与直线交点M的纵坐标为
由可得，
所以，，且，
又，
故四边形对角线交点的纵坐标与D，E两点的位置无关.
(19)(Ⅱ)(-∞，1]；(Ⅱ)时，1不是极值点，当或时，1是极值点；(III)存在，2个.
【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，结合函数的单调性确定a的范围即可；
(II)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，判断即可；
(III)根据直线和曲线相切，结合二次函数的性质求出a的个数即可.
【详解】(1)∵，，
∴，
∵在区间(1，+∞)上单调递增，
故对，，即，
故，
当，对，，
故在区间(1，+∞)上单调递增，
故a的取值范围是(-∞，1]；
(Ⅱ)①当时，令，解得:(舍)或1，
故x，，的变化如下:
x (0，1) 1 (1，+∞)
- 0 +
递减 极小值 递增
②当时，令，解得:或1，
故x，，的变化如下:
x (a，1) 1 (1，+∞)
- 0 +
递减 极小值 递增
③当，对，，(当且仅当时“=”成立)，
故在(0，+∞)单调递增.
④当时，令，解得:或a，
故x，，的变化如下:
x (0，1) 1 (1，+∞)
+ 0 -
递增 极大值 递减
综上:时，1不是极值点，
当或寸，1是极值点；
(III)存在，满足条件的实数a的个数为2.
(20)(1)数列0，1，3，5不具有性质；数列0，2，4，6具有性质P；(II)证明见解析:(III)证明见解析.
【分析】
(1)利用数列新定义直接判断即可.
(II)由定义知，，证明，利用累加法即可证得结论.
(III)由(2)可证得，利用定义知是数列A中的项，可知，即可证得数列，，，，是以0为首项，公差为的等差数列。
【详解】
(1)∵，，所以数列0，1，3，5不具有性质P；
∵；；；；；，六组数中，至少有一个属于，所以数列0，2，4，6具有性质P.
(II)由数列A：具有性质P，
∴，与中至少有一个属于A，
又，，故，
∴，
∴，
由A具有性质P可知，
∴，
∴，
∴，
，
……
；
上边n个式子累加得:，
∴，
∴
(III)证明:由(II)知，，，
∴，
而不是数列A中的项，则是数列A中的项.
∵，，
∵，
所以数列，，，，是以0为首项，公差为的等差数列.
(21)(1)①不是，②是；(II)证明见解析；(III)5，.
【分析】(Ⅰ)利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底，是的一个二元基底.
(Ⅱ)设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”.再讨论当时，集合A的所有情况均不可能是M的4元基底，而当时，M的一个基底，由此可得m的最小可能值为5.
【详解】(1)①不是的一个二元基底，
理由是；
②是的一个二元基底.
理由是 1？3，2 1？2 0？3，3 0？2 1？3，
4=1？2 1？2.5 1？2 1？3.6 1？3 1？3.
(11)不妨设，则形如)的正整数共有m个；
形如)的正整数共有m个；
形如的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个.
又集合含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底，
故，即.
(III)由(II)可知，所以，
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*
假设为的一个4元基底，
不妨设，则
当时，有，这时或7
如果，则由，与结论*矛盾.
如果，则或5.易知和都不是的4元基底，矛盾；
当时，有，这时，，易知不是的4元基底.矛盾；
当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾；
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾；
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾；
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾；
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾；
当时，A均不可能是M的4元基底.
当时，M的一个基底:或{3，7，8，9，10}:或{4,7，8，9，10}等，只要写出一个即可综上，m的最小可能值为5.

北京市重点中学2022-2023高二下学期期中测试数学试题（含解析）