上海市松江区松江二中2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含解析）

松江二中2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
（完卷时间：120分钟满分：150分）
一 填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.）
1.焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为__________.
2.的二项展开式中项的系数是__________.
3.已知函数，则__________.
4.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________.
5.已知点，若线段不能构成三角形，则的值是__________.
6.函数在上的最小值为__________.
7.已知函数的图像在点处的切线方程是，则__________.
8.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为__________.
9.函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：
①-3是函数的极小值点；
②-1是函数的最小值点；
③在区间上严格增；
④在处切线的斜率小于零.
以上所有正确命题的序号是__________.
10.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________.
11.已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件的一个直线方程即可）.
12.定义两个点集之间的距离集为，其中表示两点 之间的距离.已知，在平面直角坐标系中，点集，若，则的值为__________.
二 选择题（本大题共有4题，满分20分.每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸相应位置作答，选对得5分，否则一律得零分.）
13.“”是“直线和直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.为开展数学课外活动，老师安排5名同学分别讲述圆 椭圆 双曲线 抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（ ）
A.240 B.480 C.360 D.720
15美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭 中庭 下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼 第二眼 第三眼 第四眼 第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A. B. C. D.
16.已知函数的定义域为，其值域，则满足条件的函数的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
三 解答题（本大题共有5题，满分76分.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）
17.（本小题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
已知抛物线是它的焦点.
（1）过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，求线段的长；
（2）为抛物线上的动点，点，求的最小值.
18.（本小题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，如果，求直线的方程.
19.（本小题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）
外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学 建筑学等学科知识.如图1是我国某企业的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造 节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米）.
20.（本小题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）
如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线的斜率之积为定值；
（3）求的取值范围.
21.（本小题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上.是增函数，求实数的取值范围；
（3）若，过坐标原点作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条.
高二数学-答案与解析
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
一 填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.）
1.【答案】
【解析】
2.【答案】8
【解析】
3.【答案】3
【解析】
4.【答案】0.8
【解析】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则
，则.
5.【答案】4
【解析】由题意知三点共线
6.【答案】e
【解析】，易知在上严格减，在上严格增，
.
7.【答案】5
【解析】.
8.【答案】6
【解析】圆的圆心，
半径，设在圆上，则，
，故答案为：6.
9.【答案】①③
【解析】有图像可知，-3的左侧导数值为负，右侧为正，故-3是函数的极小值点；
-1的左右两侧导数值均为正，故-1不是函数的最值点；在区间
导数值义正，故在区间上严格增；，故在处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.
10.【答案】
【解析】将点置于第一象限.
设是双曲线的右焦点，连接.
分别为的中点，.
又由双曲线定义得，
故.
11.【答案】（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）
【解析】由，得，
故在上为单调增函数，
又，故的图像关于对称，
则，代入，
可得，即，可得.
满足条件的一条直线方程为，（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）
12.【篧案】
【解析】集合表示以为圆心，半径为1的圆上的点，集合表示直线
上的点，圆心在双曲线的右支上，
由于，由图像可知，当直线与双曲线的渐近线平
行且距离为1时满足条件，即或（舍去），
故答案为：.
二 选择题（本大题共有4题，满分20分.每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸相应位置作答，选对得5分，否则一律得零分.）
13.【答案】C
【解析】直线和直线平行且，解得，故选C.
14.【答案】A
【解析】必有两名同学讲述同一种曲线，从五名学生中选两人当作整体，再全排列即可，故
为
15.【答案】B
【解析】建立平面直角坐标系如下图所示：则，
故方程为，鼻尖的坐标为，故鼻尖到
刘海边缘的距离为，故选B.
16.【答案】A
【解析】根据题意，，其导数，
在区间上，为增函数，
在区间上，为减函数，
在区间增函数，
又由，则是极小值-2，极大值2，
若，即，解可得或2，
即函数与的交点为和，
在同一坐标系中作出函数和的图像，如图：
若函数的定义域为的值域为的子集，则有
，且，
若时，即时，不能满足的值域为的子集，
同理，时，即时，不能满足的值域为的子集，
故只有当月.时，的值域为，满足的值域为的子集，
符合题意；
故这样的函数有且只有一个.
故选：A
三 解答题（本大题共有5题，满分76分.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）
17.【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）由题意知，直线的方程为：，
设，联立，整理可得：，
弦长.
（2）设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知，
所以，要使最小，只需要最小即可，
由在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，
故最小值为.
18.【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）的中点为，故的垂直平分线为，
即，解得，故圆心为，
半径，故圆方程为.
（2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
，故圆心到直线的距离为，解得，
故直线方程为，即.
综上所述：直线的方程为或.
19.【答案】（1）平方米；（2）
【解析】（1）由题设，则有
在双曲线上，
所以解得
因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面
此时圆面的面积为（夹方米）.
（2）由（1）问得：的一条渐近线方程的.
如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即办
，
所以，主钢梁的长度约为.
20.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，即，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）设点，由题可知，
则，
所以，
而由点在双曲线上，可知，即有，
从而，故；
（3）由上可知，且，且不能同时取1或-1，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程为代入椭圆方程，
整理得，
设，则有，
因此
，
同理可得，
因此又，
所以，
所以
所以的取值范围为.
21.【答案】（1）严格增区间：，无减区间；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）吋，，
当时，为单调增函数.在单调增：
（2）在区间上是增函数，
对任意恒成立，
当吋，对任意恒成立，符合题意，
当时，若，则
综上，；
（3）设切点为，由题意得
，
曲线在点处的切线方程为，
又切线过原点，，整理得，
设，
则恒成立，在上单调递增，
又当时，；当时，；
在上有且只有一个零点，
过原点的切线有且仅有一条，

上海市松江区松江二中2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含解析）