河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题（含答案）

2023年豫南名校高三四月联考
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（ ）
A．2i B． C． D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为单位向量，，且与的夹角为，则（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
4．某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对赵梓与实验组被腐蚀数据分别是（ ）
A．17；14 B．15；14
C．17；15 D．16；13
5．我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t关系满足函数（为初速度，k为加速度且）．位移的导函数是速度与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需60s，则时速从零加速到时速600公里需（ ）
A．120s B．180s C．210s D．240s
6．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2c，，则a=（ ）
A．13 B．2 C． D．
7．在正三棱锥P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面中，已知点H到，的距离之比为，记点H的轨迹为曲线C，直线与C分别相交于M，N，且直线与坐标轴分别相交于点P，Q，已知定点，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数（，）的一个零点与相邻的一条对称轴间的距离为，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则（ ）
A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a
11．已知椭圆，离心率为，过的直线分别与C相切于A，B两点，则直线AB方程为（ ）
A．或 B．
C． D．或
12．已知定义在R上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A． B．5055
C． D．1011
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则______．
14．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，从下面两个条件中任选一个，则双曲线C的渐近线方程为______．
①与双曲线有共同焦点，且过；②过作垂直于x轴的直线交双曲线P，Q两点，且．
15．已知，且，则m+2n的取值范围是______．
16．在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和棱上的点，，EF为过，，D三点的平面与正方体的外接球截得的圆面内一条动弦且．当线段MN的长度最大时，直线MN与EF之间的距离为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记为数列的前n项和．已知，．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐
M品种蜜蜂 40 20
N品种蜜蜂 50 10
（1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联
（2）假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；
②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．
请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（12分）
在斜三棱柱中，O为底面正的中心，底面ABC，．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）设，为的两个极值点，证明：．
21．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，作直线l的平行线（），动点P满足到F的距离与到直线的距离之和等于直线l与之间的距离．记动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）过作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾斜角，求四边形ACBD面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的参数方程；
（2）若Q为曲线上一点，求点Q到曲线距离的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知x，y，z为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则．
参考答案及评分标准
一、选择题（共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C C C D B A A A
二、填空题（共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（共70分）
（一）必考题（60分）
17．解：（1）由已知得．，即，
所以，
所以是首项为，公比为3的等比数列．
（数列的首项为，并非）
（2）由（1）得，所以．
则数列的前n项和
．
18．解：（1）根据列联表得，
所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联．
（2）（ⅰ）由已知公式可得，，，
，，
，
得证．
（ⅱ）①选M品种，令选M品种蜜蜂被抽到为事件C，
则；
故选M品种，被抽到的概率为．
②选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D，
则，
故选N品种，被抽到的概率为．
19．解：（1）如图，因为底面ABC，平面ABC，所以；
由O为底面正的中心，可知，（2分）
又，所以平面，（4分）
又平面，故平面平面．（6分）
（2）结合（1）中所得，分别以CO，所在直线为x，z轴，过点O作AB的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，为正三角形，可知，，
，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取x=1，则，，故，
设与平面所成角为，则
．
（直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值）
故与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）（所求解导函数若可因式分解，则优先考虑因式分解，便于求解导函数的零点）
①当，即时，，令，则x=1，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1；
②当，即时，令，则，，
（ⅰ）当时，，则，在R上单调递增，此时无极值点；
（ⅱ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
（ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为．
综上所述，当时，有唯一的极小值点1；
当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
当时，无极值点；
当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为．
（2）由题得，
则，，
由，为函数的两个极值点可知，
则在R上不单调，则有解，（不单调，即存在极值点，故有解）
故，则．
由，知，
，，（由，可知，）
所以．
令，，则，，，
故，且，
令（），
则，
则在上单调递减，，
即对，有，
令（），则，
则，即，
所以，
则，即，
又，
所以，故．
21．解：（1）过P分别作直线l，的垂线，垂足为M，N，则由题意可得，即，
则由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
则有，，故E的方程为．
（2）由题目条件过作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，可知直线AB，
CD的斜率互为相反数．设，，，
由直线AB的倾斜角，且直线AB的斜率，（直线的斜率为，解题时往往忽略这一细节而致错）
可知，解得．
联立消去x可得，
则，，，
则
，
同理可得．（由直线AB，CD的斜率互为相反数，可考虑用－m替换表达式中的m，整体代换，简化运算）
记直线AB，CD的夹角为，
则
，（由于点A，B与C，D的位置不确定，则直线AB，CD的夹角等于∠BQD或∠AQD，等于点A到直线CD的距离，等于点B到直线CD的距离，故考虑将四边形ACBD的面积分为和的面积之和进行求解）
又，
（等于或，又，且，则，故）
则
令，，则，
令，则，
当时，，单调递增，
则，
故四边形ACBD面积的最大值为．
（二）选考题（10分）
22．解：（1）由曲线的参数方程可知，则，
代入得曲线的普通方程为，
即，
由，可知曲线的普通方程为，
即，
故曲线的参数方程为（为参数）．
（2）由题可知，点Q到曲线的距离
其中，
当时，，
故点Q到曲线距离的最大值为．
23．解：（1）因为，所以，
同理可得，，
所以，故，
当且仅当时等号成立．
（2），
因为，所以，当且仅当时等号成立．

河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题（含答案）