第5天 三角函数-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第5天 三角函数
一、单选题
1．y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在上有4个零点；
④的值域是.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．若，则（ ）
A．5 B． C．2 D．4
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的最小正周期为，且当时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象
13．已知函数（）在区间内恰有4个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在内有且仅有1个极大值点
B．在内有且仅有2个极小值点
C．的取值范围是
D．在内单调递减
14．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心坐标为
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D．在区间上单调递减
15．某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~32号，并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入，在后距离地面的高度，已知该摩天轮的旋转半径为60m，最高点距地面135m，旋转一周大约30min，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min时，乙距离地面的高度为，则乙所乘坐的舱号为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．16
16．已知的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．是偶函数
17．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒
18．心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．收缩压为
C．舒张压为 D．每分钟心跳80次
19．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
20．（多选）已知函数，则（ ）
A．的图像关于y轴对称
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图像关于点对称
21．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在定义域内是增函数 B．是奇函数
C．的最小正周期是 D．图像的对称中心是
22．已知函数，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．把向左平移可以得到函数
D．在上单调递增
23．下列选项中，是函数的单调递增区间的有（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数恒满足
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在上为增函数
三、填空题
25．函数的最小正周期为__________；若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________.
26．若函数在区间上有3个零点，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
27．如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)的函数关系是,.
（1）当时,求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
（2）已知,要使沙漏摆动的周期是,线的长度应当是多少(精确到)
28．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）.
29．如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，根据表达式回答下列问题.
（1）时，小球相对平衡位置的位移为多少？
（2）小球相对平衡位置的最大距离是多少？
（3）经过多长时间小球完成一次运动？
（4）小球1s内能运动多少次？
30．如果，求证：．
参考答案
1．D
【分析】先通过的单减区间求出整体的范围，再结合已知解出的范围即可.
【详解】由的单调递减区间为，可得，解得，
又，时， .
故选：D.
2．A
【分析】根据偶函数的定义即可判断①，根据正弦函数以及二次函数的单调性，结合复合函数单调性的判断即可求解②，根据二次方程以及正弦函数的性质即可求解③，结合函数的单调性以及奇偶性即可判断④.
【详解】对于①，，故是偶函数，故①正确，
对于②，当时，，
令，，则，因为在上单调递增，而函数在单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；
对于③, 当时，由，即或，得，或，或，由①知是偶函数，故当时，得，或，或，，所以在有6个零点，③错误；
对于④，当时， ，
因为，所以当时，，当时，，此时 ，又是偶函数，故值域为，④错误；
故选：A
3．B
【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答.
【详解】依题意，，则，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
故选：B
4．C
【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
5．A
【分析】先求得，然后根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】，
所以，则，
所以
故选：A
6．A
【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得，结合，利用二倍角公式可求出.
【详解】，
，
得，
得，
可得，
，，，
又，
得，
解得.
故选：A
7．B
【分析】已知等式切化弦，利用倍角公式化简得，由，代入计算可得.
【详解】由，得，
即，所以，
则.
故选：B.
8．B
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
所以，
所以
故选:B.
9．C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
10．A
【分析】根据最小正周期求出，根据当时，函数取最小值，求出，从而，由得到，由单调性列出不等式，求出，得到答案.
【详解】因为，所以，
故，所以，解得：，
因为，所以只有当时，满足要求，
故，因为，所以，
故，解得：，
故a的最小值为.
故选：A
11．D
【分析】原问题等价于求函数的一个单调递增区间，作出的图象即可求解.
【详解】解：函数的一个单调递增区间，即为函数的一个单调递增区间，作出的图象如下图所示.
由图可知函数的一个单调递增区间为，
故选：D.
12．AC
【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想对选项逐一判断即可.
【详解】由可知，解得，所以函数的对称中心为，故A选项正确；
令 解得，所以函数的对称轴为，，故B选项错误；
令，解得，所以函数的单调递减区间为，故C选项正确；
将的图象向左平移个单位得，故D选项错误；
故选：AC
13．BCD
【分析】对C：当时求出整体的范围，结合的图象求出的范围，然后再结合的图象判断A、B选项是否正确，对于D：当时，结合的范围判断整体是否在余弦函数的增区间内即可.
【详解】因为，所以，
若在内恰有4个零点，则，解得，故C正确；
由图象可知：在内有1或2个极大值点，故A错误；
在内有且仅有2个极小值点，故B正确；
当时，，
所以在内单调递减，故D正确.
故选：BCD.
14．ABD
【分析】首先化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，求出结合正弦函数的单调性即可判断D.
【详解】对A，，
由周期公式可得,A正确；
对B，因为,故为对称中心，B正确；
对C，的图象向左平移个单位得到，C错误;
对D，当，，
根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.
故选：ABD.
15．BC
【分析】由题意，作图，根据图中的几何性质，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
代表地面，代表摩天轮乘坐舱运动的轨迹，则，，
因为摩天轮旋转一周大约，甲乘坐号舱后，运动到点位置，
假设乙乘坐的乘坐舱运动到点，则，
由，则，
在中，，则，
由题意，相邻两个乘坐舱之间的夹角为，
由，即甲乙两人相隔4个舱位，
由，得点对应的乘坐舱为号，
由，得点对应的乘坐舱为号.
故选：BC.
16．AB
【分析】利用平移的原则得，则最小正周期为，则可判断A，求出，利用复合函数单调性则可判断BC，根据奇偶函数的判定方法则可判定D.
【详解】，
对A，的最小正周期为，故A正确；
对B，当，，根据在上单调递增，
则在上单调递增，故B正确；
对C，由B得，即取值范围为，故C错误；
对D，定义域关于原点对称，但，
则为奇函数，故D错误.
故选：AB.
17．AD
【分析】根据余弦函数，结合三角函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由题意得，如图，轴，，
点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且，
因为每分钟转2圈，所以，得角速度，
故，又，
所以，所以，
即.故A正确，B错误；
若水车的转速减半，则每分钟转动圈，所以周期变为原来的倍，因此C错误；
令，得，
解得或，Z，
当时，或，
即旋转一周的过程中(30s)，有s，水斗A距离水面高度低于7米，
所以有s的时间不低于7米，故D正确.
故选：AD.
18．BCD
【分析】由正弦型函数的图像，即可求出周期与最值，进而求出频率，即可判断正误.
【详解】由题图知，，所以，可得，故选项A不正确；
所以，由题图知在一个周期内最大值为120，最小值为70，
所以收缩压为，舒张压为，故选项BC正确；
每分钟心跳数为频率，故选项D正确.
故选：BCD.
19．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
20．AC
【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性求解，对于BCD，作出函数的图像，利用图像判断.
【详解】由，得，，所以的定义域关于原点对称．又，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，故A正确．
当时，，作出函数在时的简图，再由的图像关于y轴对称得函数的简图，如图．
根据函数图像知，函数不具有周期性，且在区间上单调递增，函数图像不关于点对称，故B，D错误，C正确．
故选：AC．
21．BCD
【分析】以为整体，结合正切函数的相关性质逐项分析判断.
【详解】A选项：∵，则
∴的定义域是，
其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性，故A错误；
B选项：，
∵，则是奇函数，故B正确；
C选项：函数的最小正周期为，故C正确；
D选项：令，解得，所以图像的对称中心是，故D正确．
故选：BCD．
22．BD
【分析】由正切函数的性质及图象变换规律逐一判断即可得结论．
【详解】，故A错误；
函数的最小正周期为，故B正确；
把向左平移可以得到函数，故C错误；
时，，故在上单调递增，故D正确．
故选：BD．
23．BC
【分析】由求出函数的单调递增区间，再令取特殊值，结合选项可得答案.
【详解】令
可得
函数的单调递增区间为
令，函数的单调递增区间为，B正确；
令，函数的单调递增区间为，C正确，
故选：BC.
24．AC
【分析】根据诱导公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断BC选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项， ， A正确；
对于B选项，函数无对称轴，B错；
对于C选项，由可得，
当时，可得，所以，点是函数图象的一个对称中心，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在上不单调，D错.
故选：AC.
25． 2 /0.25
【分析】根据正弦型函数的周期公式即可求解周期，根据单调性即可列不等式求解.
【详解】，故，当时，，故，解得,故的最大值为.
故答案为：2，
26．
【分析】根据函数零点的定义，结合余弦函数的单调性利用转化法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】，
由函数在区间上有3个零点，可以转化为直线和函数在上有三个不同的交点，
因为，所以，
当时，即当时，函数单调递增，
函数值从增加到；
当时，即当时，函数单调递减，
函数值从减少到；
当时，即当时，函数单调递增，
函数值从增加到，
当时，即当时，函数单调递减，
函数值从减小到，
所以函数在上的函数图象如下图所示：
因此要想直线和函数在上有三个不同的交点，
只需，
故答案为：
27．（1）（2）
【解析】（1） 因为,可得的最大值为,设偏角为,可得最大偏角满足,通过计算器,即可求得答案;
（2）根据的最小正周期计算公式为:,即可求得答案.
【详解】（1）
可得的最大值为
设偏角为
可得最大偏角满足
根据计算器计算结果可得:
（2）根据的最小正周期计算公式为:
,即
即,故
解得:.
【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
28．（1）；（2）；（3）.
【分析】根据正切函数的定义域利用整体代入的方法即可直接求出所求函数的定义域.
【详解】（1）由，得，
所以函数的定义域为；
（2）由，得，
所以函数的定义域为；
（3）由，得，
所以函数的定义域为.
29．（1）.（2）2cm.（3）（4）.
【解析】（1）将代入求解即可；
（2）由的范围求得的最值即可；
（3）即求函数的最小正周期；
（4）利用求解即可
【详解】（1）时,,所以小球相对平衡位置的位移为
（2）因为,则当,即,因为,即时,,
所以小球相对平衡位置的最大距高为2cm
（3）小球完成一次运动就是一个周期,,则经过小球完成一次运动
（4）小球1s内能运动的次数为
【点睛】本题考查正弦型函数在实际中的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的周期
30．见解析
【解析】利用积化和差公式、诱导公式和二倍角公式整理化简即可证得结论.
【详解】 ，
【点睛】本题考查利用三角恒等变换的相关公式证明等式的问题，涉及到积化和差公式、二倍角公式和诱导公式的应用.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()

第5天 三角函数-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)