云南省昆明市昆明师专附高2022-2023高一下学期期中质量监测数学试题（含答案）

昆明师专附高 2022－2023 学年下学期期中质量监测试卷
高 一 数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题:本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1． cos40 cos10 + sin40 sin10 =（ ）
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2. “ ”是“四边形 ABCD构成平行四边形”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在 ABC a2 = b2中，已知 +bc+ c2，则角 A为 ( )
2 2
A． B． C． D． 或
6 3 3 3 3
4．已知单位向量 a, b的夹角为60 ，a kb与a垂直，则实数 k =（ ）
A． 1 B． 2 C． 1 D． 2
5. 函数 f (x) = 2 sin 2xcos2x 是（ ）

A. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数
2 2

C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数
4 4
6. 如图，在△ABC中， AB = a， AC = b， DC = 3BD ， AE = 2EC ，则DE ＝（ ）
1 3 5 3 3 1 3 5
A. a + b B. a b C. a + b D. a+ b
3 4 12 4 4 3 4 12
7. 设函数 f (x) = sin 2x + cos 2x ，给出下列结论：

① f (x)的最小正周期为 ； ② f (x)在区间 , 内单调递增； ③将函数 y = f (x)的图象向左
8 8

平移 个单位长度，可得到函数 y = cos 2x的图象.其中所有正确结论的序号是（ ）
4
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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2 2 2
8．在 ABC中，a，b，c分别为 A，B，C 的对边，a = 13, c = 3，且2absin C = 3 (b + c a )，
则 ABC的面积为（ ）
3 3
A. B. 3 3 C. 3 D. 6 3
2
二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错得 0分。
1
9．已知 e1 ， e2 ， e3 为同一平面内的单位向量，e ⊥ e ，e2 e3 = ，且e1 与e1 3 2 的夹角为锐角，则（ ）
2
3 1
A． e 与 e 的夹角 B．e = e e C． e1 e2 = 2 3 D． e2 + e3 = 31 2
6 2 1 32 2
10．下列说法正确的有（ ）
A．在△ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC
B．在△ABC中，若 sinA＝ ，则 A＝
C．在△ABC中，sinA＞sinB是 A＞B的充要条件
D．在△ABC中，若 sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
11．折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为
现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，
沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作
而成的，其平面图如图 2 ，则（ ）
A．EH / /FC B． AH BE = 0
C．EG = EH +EF D．EC EH = EC ED
1
12． 若函数 f (x) = Asin( x+ )（ A 0， 0，0 ）
2 2
在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）
1
A. f (x) = 2sin x +
3 3
7
B. f (x) 的图象的一个对称中心为 ,0
2
5
C. f (x) 的单调递增区间是 3k ,3k + ， k Z
4 4
π 2
D. 把 g(x) = 2sin x + 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，可得 f (x) 的图象.
3 3
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的
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上。）
π
13．已知向量 a ，b 的夹角为 ， a = 2， b = 3 ，则 3a b =___________.
6
14．中国象棋中规定马走“日”,象走“田”.如图,在中国象棋的半个棋盘
(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在 A处,则可跳 A1处,也
可跳到 A2处,用向量 表示马走了“一步”.若马在 B或 C处,则以
B,C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个.
2 5 10
15. 已知锐角α，β满足 sin α＝ ，cos β＝ ，则 α＋β＝_____.
5 10
16．已知 AD是 ABC的中线，若 A =120 ， AB AC = 4，则 AD 的最小值是____________．
四、解答题（本题满分 70分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。）
17．（本小题 10分）设向量a,b 满足 a = b =1及 3a 2b = 7 .
（Ⅰ）求a,b 夹角的大小；
（Ⅱ）求 3a+2b 的值.
3 1
18. （本小题 12分）已知sin = ， , ， tan ( ) = .
5 2 2
sin + 2cos
（Ⅰ）求 和 tan 值；
sin cos
（Ⅱ）求 tan ( 2 )的值.
19．（本小题 12分）在 OAB中，已知的P 为线段 AB 上一点，BP = 3PA. （Ⅰ）若OP = xOA+ yOB，求实数 x 、 y 的值； （Ⅱ）若 OA = 4， OB = 2，且OA与OB的夹角为60 ，求OP AB的值．
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20．（本小题 12分）已知 ABC的内角 A, B,C 的对边分别是a,b,c，且a2 = b2 + c2 bc．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a = 3,b+ c = 3 3，求 ABC的面积．
21．（本小题 12分）如图所示， ABC是边长为 2的正三角形，点P1, P2 , P3四等分线段BC ．
（Ⅰ）求 AB AP1 + AP1 AP2 的值；
1
（Ⅱ）若点Q是线段 AP3 上一点，且 AQ = AB+mAC ，求实数m 的值．
12

22. （本小题 12分）已知函数 f (x)=Asin( x + )(A 0, 0,0 ) 同时满足下列四个条件中的三个：
2

① f ( ) = 0；② f (0) = 1；③最大值为 2；④最小正周期为 .
6
（Ⅰ）给出函数 f (x) 的解析式，并说明理由；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调递减区间.
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高一数学参考答案
一、单项选择题:每小题 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B A D A B
二、多项选择题:每题 5分，漏选得 2分，错选得 0分，共 20 分
题号 9 10 11 12
答案 AD ACD BCD BC
三、填空题: 每题 5分，共 20 分.
3
13． 2 ;1 14． 11 ； 15． ； 16． 2 .
4
四、解答题: 本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10分）
解：（1）∵ a = b =1，|3 a 2b | = 7 ，
∴|3 2 2 2a 2b | =(3 a 2b ) =9 a 12 a b +4b2 =7， 3 分
2 2 1
即 9 a 12 a b + 4 b =7，可得 13﹣12 a b =7，解之得a b = . 4 分
2
a b 1
设 a¤b 夹角等于 α，则 cosα= = ， 5 分
a b 2

∵α∈(0，π)， ∴α= ，即 a¤b 夹角的大小为 ； 6 分
3 3
1
（2）∵ a = b =1，a b = .
2
1
|3 2a + 2b | =9 a2 +12a b +4b2 = 9+12 + 4=19， 8 分
2
∴ 3a + 2b = 19 10 分
18．（本小题满分 12分）
2
3 3 4
（1）由sin = ， , ，可得cos = 1
5 2
= ，
5 5
sin 3
tan = = ，
cos 4
sin + 2cos tan + 2 5
因此 = = ； 6 分
sin cos tan 1 7
1 1
又由 tan ( ) = tan = ， tan = ； 7 分
2 2
3 2tan 4
（2）由（1）得， tan = ， tan2 = = ，
4 1 tan
2 3
tan tan2 7
tan ( 2 ) = = . 12 分
1+ tan tan2 24
19．（本小题满分 12分）
3 1
解：由BP = 3PA可得OP OB = 3(OA OP)，解得OP = OA+ OB，
4 4
3 1
又因为OP = xOA+ yOB，因此， x = ， y = . - - -- 4 4 --
-------------------6 分
(2)由平面向量数量积的定义可得OA OB = OA OB cos60 = 4，
1 1 2 2
因此，OP AB = (OB+3OA) (OB OA) = (OB + 2OA OB 3OA ) = 9 . 12 分
4 4
20．（本小题满分 12分）
b2 + c2 a2 bc 1
【详解】（Ⅰ）依题意：cos A = = = 3 分
2bc 2bc 2

A = 5 分
3
（Ⅱ）由余弦定理得：a2 = b2 + c2 2bc cos A 6 分
即：a2 = (b+ c)2 2bc bc， 8分
3bc = (b+ c)2 a2 = 24，即bc = 8 10 分
1
S ABC = bc sin A = 2 3 12 分
2
21．（本小题满分 12分）
1 1 3 1
（1）因为点P1, P2 , P3四等分线段BC 所以， AP2 = AB+ AC， AP1= AB+ AC，
2 2 4 4
3 1 3 1 1 1
AB AP1+AP1 AP2 =AB ( AB + AC) + ( AB + AC) ( AB + AC)
4 4 4 4 2 2
9 2 1 2 3 9 1 3 13
= AB + AC + AB AC = 4+ 4+ 2 2cos60 =
8 8 4 8 8 4 2
6分
点Q在线段AP3上

AP3 = AQ = AB +m AC
12
BP3 = 3P3C,
1 3
AP3 = AB + AC
4 4
1
= 12 4

3 m =
4
=3
1
解得 1因此所求实数m的值为 .
m = 4
4
12分
22．（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）若函数 f (x) 满足条件②，

则 f (0) = Asin = 1，这与 A 0,0 矛盾，所以 f (x) 不能满足条件②…………2 分
2
所以 f (x) 应满足条件①③④
2
由条件④得 = ，且 0，所以 =2 …………3 分

由条件③得 A= 2 …………4 分

再由条件得① f ( ) = 2sin( + ）=0，且0
6 3 2

所以 = …………6 分
3

所以 f (x) = 2sin(2x + ） …………7 分
3
3
（Ⅱ）由 2k + 2x + 2k + ,(k Z) …………9 分
2 3 2
7
得 k + x k + ,(k Z ) …………11 分
12 12
7
所以 f (x) 的单调递减区间为[k + ,k + ] (k Z) …………12 分
12 12

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