浙江省温州市文成县振中学校2021年九年级竞赛班选拔考试数学试卷（含答案）

2021年九年级竞赛班选拔考试数学卷
1．全卷满分150分，考试时间90分钟.
2．全卷由试题卷和答题卷组成，请将答案写在答题卷相应的位置，写在试题卷上无效。
一、选择题(本题有8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项是正确的)
1. 如图所示，A、B、C为长方体三个顶点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2．若实数满足，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 　 D．第四象限
3. 已知.当时，=7，当=3时，=（ ）
A.-3 B.-17 C.-7 D.7
4．如图 ,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
若（ ）
A．40 B． C． 60 D．不能确定
5．二次函数图象的顶点在正比例函数的图象上，则此二次函数有（ ）
A．最大值 　 B．最小值 C．最大值 D．最小值
6． 已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的乘积等于菱形一边长的平方，则菱形的一个锐内角的大小为（ ）
A. B. C. D.
7．关于的方程根的个数不可能是（ ）
A． 　 B． 　 C． 　 D．
8．如图，在中，是的内角平分线的交点，
分别与的外接圆交于点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．把正确答案填在答题卡中的横线上）
9． 设a=，则3a3+12a2 6a 12= ▲
10．分解因式= ▲
11．已知方程组的解是则的值为 ▲ ．
12．已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式ax > b的解集为 ▲
13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ADBD于D, F为AC中点，AB = 5,
BC = 7, 则DF = ▲
14．如图，已知Rt△ABC中，∠C=，AC=，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP=____ ▲ _____
15．在平面直角坐标系中，已知三点，则当的周长最小时，实数的值为 ▲ ．
16.已知，即，等式两边同乘3.则有，也即，借鉴上述操作，若有，那么…=___ ▲ ______
三、解答题(本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。)
17.(本题10分)
（Ⅰ）先化简，再求值：，其中
（Ⅱ）已知正实数x，y满足：，求的值.
18. (本题12分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，CD⊥AB于D，将△BCD绕点B顺时针旋转α得到△BFE
(1),当α=60°时，求CE之间的距离
（2）当点A,E,F,三点共线时，求AF的长；
（3）.连结AF，记AF的中点为P，直接写出线段CP的最小值 。
19．(本题12分)已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E. 且OD⊥AC，垂足为点F.
(1)如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
(2)如图2，如果E为弦BD的中点，求 的值
20．（本题12分）如图，一次函数的图象与轴、反比例函数为
常数）的图象和轴依次交于点四点．
（1）若点是的中点，求的值；
（2）若是的中点，求的值．
21．（本题12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动(点D不与A重合，点C不与B重合)，E是AB上的动点(点E不与A，B重合)，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．
22．（本题12分）已知二次函数的图象为．
（1）求证：不论为任何实数，图象恒过定点，写出点的坐标；
（2）设图象的顶点为，图象与轴的两个交点为，
（i）求证：不可能是钝角三角形；
（ii）若（其中点为（1）中的定点），求实数的值．
B
D
C
α
β
A
第8题
第20题九年级竞赛班选拔考试数学试卷答案
一．选择题：1 .A 2. D 3. B. 4 .B 5. B .6 A 7. A 8. C
二．填空题：
9. 24 10. 11. 6 12.
13. 1 14. 15. 3 16.
三．解答题：
17.(1) (2)
18.（1）CE= (2) (3)
19.（1） （2）
20.（1）
(2)km=-2
21． (1)证明：∵∠DEC＝90°, ∴∠AED+∠BEC=90°,
又 ∵∠AED+∠ADE=90°,
　　　　∴∠BEC=∠ADE , 而∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC . 　 (6分)
(2) 结论：△BEC的周长与m无关．
　　在△EBC中，由AE＝m，AB＝a，得BE＝a－m，设AD＝x，
　因为△ADE∽△BEC，所以， 即：，
　　解得：
　 所以△BEC的周长＝BE＋BC＋EC＝
＝＝＝ ①
因为AD＝x，由已知AD+DE＝AB=a得DE＝a－x，又AE＝m
　在Rt△AED中，由勾股定理得：
化简整理得： ②
　　　把②式代入①，得△BEC的周长＝BE＋BC＋EC＝，
　　　所以△BEC的周长与m无关． (6分)
22（1） P (1，-1)
（2） ①略 ②±

浙江省温州市文成县振中学校2021年九年级竞赛班选拔考试数学试卷（含答案）