2023年江西省南昌市中考数学一调试卷普通用卷（含解析）

2023年江西省南昌市中考数学一调试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数，为的是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如表：
时间
速度
则时，这个钢球的速度是( )
A. B. C. D.
5. 如图，的顶点，在的边上，，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是( )
A.
B. 该抛物线必过点
C. 当时，随增大而增大
D. 当时，
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 的倒数是______．
8. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，的值为______ ．
9. 为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写字，弟弟寒假要写字，哥哥每天比弟弟多写字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写字，则可列方程为______ ．
10. 小胡想买一台新电脑，他向最近火爆圈内的全新聊天机器人征询意见，机器人给出电脑的外观、续航、性能、价格四个方面的得分各方面分值都以满分分来计如表，然后问小胡，如何选择？小胡说，外观，续航，性能，价格，选综合分高的请你根据表格中的数据计算，确认小胡会选哪款电脑？______ 填“甲”或“乙”
款式 外观 续航 性能 价格
甲
乙
11. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”请你利用数形结合思想，解决下面问题：
如图，在平面直角坐标中，将线段：向上平移个单位，若线段在运动过程中扫过的区域面积为，则与的关系式为______ ．
12. 如图，是的弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则 ______
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
计算：；
如图，，两点分别在的边和上，，若直线把分成面积相等的两部分，求的值．
14. 本小题分
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
15. 本小题分
先化简：，再从，，三个数中选一个合适的数代入求值．
16. 本小题分
年月日晚点，南昌市在赣江之心老官洲举办了“流光华彩庆佳节，欣逢盛世启新程”主题迎春烟花晚会，重点观看区域有个，分别为号、号、号、号区域，甲、乙两个家庭分别从这四个区域随机选择一个区域进行观看．
事件“甲、乙两个家庭都选到号区域进行观看”是______ 事件；填“必然”、“不可能”或“随机”
请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两个家庭选到同一区域进行观看的概率．
17. 本小题分
如图，是的正方形网格，的三个顶点都在格点上，，点在边上，请仅用无刻度的直尺，分别在图，图中，画符合下列条件的点．
；
最短．
18. 本小题分
为积极响应“双减”政策，某校七年级数学备课组积极开展初中数学作业的设计与实施课题研究，为了使研究的课题可靠和有效，该备课组对本年级学生数学学习的状态、效果进行跟踪期间，抽取了部分学生进行了两次测试，第一次是课题实施前的测试，第二次是课题实施后的测试，并根据两次测试的数学成绩制成统计表和统计图．
______ ；
请在图中补全课题实施前测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析用一句话概述；
人数成绩
类别
课题实施前
课题实施后
某同学第二次测试的成绩为分，那么该同学在这次测试中的成绩处于何种水平？______ ．
A.中等
B.中等偏上
C.中等偏下
D.不能确定
该备课组秉持“一切为了学生，为了学生的一切，为了一切的学生”的精神，让不同的学生在数学上得到不同的发展分层布置作业，效果显著，特别是经过老师和学生们的共同努力，成绩在的学生人数降为若该校七年级共有名学生，请你估算一下，该校七年级数学成绩在的学生原有多少人？
19. 本小题分
如图，等腰的顶点，都在轴上，反比例函数的图象经过点，已知，两点的坐标分别为和，．
若，求该反比例函数的解析式；
若，求点的坐标．
20. 本小题分
图是一款简约时尚升降旋转多功能用桌，图是它的示意图，支架与相交于点，与相交于点，桌面铺在支点，处，与地面平行，通过活动调节器在对角线上，可改变的大小，从而调节桌面的高度与之间的距离经测量，，，，．
求此时的大小；
一般情况下，桌面的高度在至之间较为适宜，妙妙同学通过活动调节器改变的大小，使得，如图，问此时桌面的高度是否较为适宜？说明理由参考数据：，，
21. 本小题分
如图，在中，，点在斜边上，满足，点在边上，以点为圆心，为半径画圆，交边于点，若刚好过点．
求证：是的切线；
如图，若是边的三等分点，且，．
求，两点间的距离；
求图中阴影部分的面积．
22. 本小题分
一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图所示，图是它的示意图，球的出手点到地面的距离为即，当球运行至处时，水平距离为即到的距离为，达到最大高度为，已知篮圈中心到地面的距离为，篮球架可以在直线上水平移动．
请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；
若篮球架离人的水平距离为，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
23. 本小题分
【课本再现】
如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动则下列结论正确的是______ 填序号即可．
≌；
；
四边形的面积总等于；
连接，总有．
【类比迁移】
如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据相反数的定义，，那么不符合题意．
B.根据去括号法则，，那么不符合题意．
C.根据相反数的定义，，那么符合题意．
D.根据相反数以及绝对值的定义，，那么不符合题意．
故选：．
根据绝对值以及相反数的定义解决此题．
本题主要考查绝对值以及相反数，熟练掌握绝对值以及相反数的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，选项A不符合题意；
B.，选项B符合题意；
C.，选项C不符合题意；
D.，选项D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式计算并判断．
本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式．
3.【答案】
【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的中间是一个小正方形．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据表格可得，
时，，
时，，
时，，
时，，
时，，
故选A．
根据给出的表格，通过分析得到时，时，，时，，
本题考查根据表格推导出规律的问题，通过对应的和的数据，推导出和 的关系．
5.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过，
且抛物线经过，
选项A正确，选项B正确．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随的增大而增大，
选项C正确．
时，，
时，，选项D错误．
故选：．
由可得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性及点，坐标求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7.【答案】
【解析】解：的倒数是．
根据倒数定义可知，的倒数是．
本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
根据倒数的定义即可解答．
8.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
9.【答案】
【解析】解：哥哥每天写字，且哥哥每天比弟弟多写字，
弟弟每天写字．
根据题意得：．
故答案为：．
由哥哥、弟弟每天写字数量间的关系，可得出弟弟每天写字，结合哥哥写字与弟弟写字所用天数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】甲
【解析】解：甲款电脑的综合得分为分，
乙款电脑的综合得分为分，
甲款电脑的综合得分高于乙款电脑的综合得分，
确认小胡会选甲款电脑．
故答案为：甲．
根据加权平均数的计算方法分别计算出甲、乙两款电脑的综合得分，然后选择得分高的一款．
本题考查了有理数混合运算：同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．也考查了加权平均数．
11.【答案】
【解析】解：线段向上平移个单位得到线段，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：．
根据平移的性质可得，，可知四边形是平行四边形，根据求解即可．
本题考查了一次函数与几何变换，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移变换和平行四边形的面积公式是解题的关键．
12.【答案】或或
【解析】解：如图，过点作于，连接，，
则，
，
，
，
，
是等腰三角形，，
，
，
如图，当点在圆内，在下方时，
，
，
，
．
如图，当点在圆内，在内部时，
，
．
如图，当点在圆的外部，在内部时，
的度数，
的度数，
，
，
综上得，或或，
故答案为：或或．
过点作于，连接，，解直角三角形可得，则，求出，则，再进行分类讨论，结合三角形的内角和定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，正确画出图形，合理进行分类讨论是解题关键．
13.【答案】解：
；
，
∽，
，
．
【解析】先根据零指数幂的定义计算，然后计算加减；
首先根据判定∽，然后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查了实数的混合运算以及相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
14.【答案】解：解不等式可得：；
解不等式可得：；
故原不等式组的解集是．
其解集在数轴上表示如下所示：
．
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
15.【答案】解：原式
，
，，
，，
当时，原式．
【解析】根据分式的除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16.【答案】随机
【解析】解：由题意得，事件“甲、乙两个家庭都选到号区域进行观看”是随机事件．
故答案为：随机．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两个家庭选到同一区域进行观看的结果有种，
甲、乙两个家庭选到同一区域进行观看的概率为．
根据随机事件的定义可得答案．
列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两个家庭选到同一区域进行观看的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、随机事件，熟练掌握列表法与树状图法以及随机事件的定义是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图：
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
【解析】作的垂直平分线与的交点即可；
先作等腰直角三角形，再过点作的垂线与的交点即为所求．
本题考查了作图的应用和设计，掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意得，样本容量为：，
故．
故答案为：；
由题意，补全课题实施前测试的数学成绩折线图如下：
由折线统计图可知，课题实施后的测试的成绩比课题实施前有明显的提高，低分层的人数减少了，高分层的人数比原来多了．
因为第二次测试的成绩的中位数不能确定，所以某同学第二次测试的成绩为分，那么该同学在这次测试中的成绩处于中等、中等偏上或中等偏下是无法确定的．
故答案为：；
人，
答：估计成绩在的学生原来约有人．
用总人数分别减去其他六组的人数可得的值；
根据表格中的数可补全课题实施前测试的数学成绩折线图；据根据中位数的定义解答即可；
根据中位数的定义解答即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查频数分布折线图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
把代入得，
故反比例函数的解析式为；
当时，，
解得舍去或，
．
当时，如图，
，
解得舍去或．
综上所述，点的坐标为或．
【解析】根据已知条件得到根据等腰直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论；
当时，当时，解方程即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，等腰直角三角形的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键．
20.【答案】解：
过点作于点，
，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
故此时的大小为．
作直线分别交，于点，，交于点．
，
四边形为菱形，
，．
，
，
，
，
，，
的长度就是桌面的高度，
，
，
，，
，，
，
故桌面的高度在至之间，桌面高度较为适宜．
【解析】本题首先根据题意可求的三角函数，求出，与已知条件对应，得出，通过平行和等腰三角形底角相等，来得出的大小；
通过，过、作直线交、、于、、，通过三角函数求出，，，的长度，然后求出总长，与已知条件进行对比，得出桌面高度比较合适．
本题考查了三角函数的运用，余弦定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质等，通过三角函数，求出对应的角和对应的边长．
21.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接、，
是边的三等分点，且，
，
，
，
，
又，
．
，
，
在中，；
在中，，，
，
．
【解析】如图，连接，根据等腰三角形的性质推出，，根据直角三角形的性质及平角的定义推出，根据切线的判定定理即可得解；
如图，连接、，
根据题意及圆的性质求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求解即可；
根据三角形的内角和定理求出，根据图中阴影部分的面积求解即可．
此题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、解直角三角形，三角形的那家公司、扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形，三角形的那家公司、扇形的面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：以为原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，
设该抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为；
当时，，
解得舍去，，
，
该运动员不能将篮球投入篮圈，，
将篮球架往方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
【解析】以为轴，为轴建立平面直角坐标系，根据题意得出，坐标，设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可；
把代入解析式求出的值，与比较即可得出结论．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
23.【答案】
【解析】解：如图中，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，故正确，
，故正确，
，故正确，
，
，
，，
，
，故正确，
故答案为：；
猜想：，理由如下：
连接，是矩形的中心，
点是的中心．
，
延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
设．
当点在线段上时，
，
在中，，
，
又由易知，
，
解得．
．
当点在延长线上时，同理可证．
，
又在中，．
．
解得．
．
故EF的长度为或．
证明≌，可得结论；
猜想：，连接，≌，再利用勾股定理证明即可；
设分两种情形：当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，就提到过房间数正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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