广东省梅州市兴宁市2022—2023下学期八年级期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省梅州市兴宁市八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
3．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（　　）
A．60° B．85° C．75° D．90°
4．（3分）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．﹣a2+b2
5．（3分）根据图象，可得关于x的不等式k1x＜k2x+4的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3
6．（3分）如图，直线a∥b，直线c交直线a、直线b与A、B两点，BA＝BC，∠1＝∠CBA＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．40° B．30° C．35° D．20°
7．（3分）下列说法正确的个数是（　　）
①有两条边、一个角相等的两个三角形全等．
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线．
③全等三角形对应边上的中线相等．
④有一个角是60°的三角形是等边三角形．
⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝12，AC＝19，则△ABD的周长为（　　）
A．30 B．31 C．24 D．38
9．（3分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A．15＜a≤18 B．5＜a≤6 C．15≤a＜18 D．15≤a≤18
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2FC；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分24分）
11．（4分）计算的结果是 　 　．
12．（4分）已知点A（2，﹣1）与点A′关于原点对称，则点A′坐标为 　 　．
13．（4分）等腰三角形的一条边长为7，另一边长为15，则它的周长为 　 　．
14．（4分）因式分解：ax2﹣4ay2＝　 　．
15．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞x+a的解集是　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　．
17．（4分）△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
18．（6分）解不等式组：，并求出它的整数解．
19．（6分）若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，试判断△ABC的形状．
20．（8分）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
21．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC，试问BE与DF相等吗？请说明理由．
22．（8分）请在如图所示的直角坐标系中画出函数y1＝﹣x+3，y2＝3x﹣4的图象，观察图象并回答下列问题：
（1）当x取何值时，y1＝y2？
（2）当x取何值时，y1＞y2？
（3）当x取何值时，y1＜y2？
23．（10分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD∥AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
24．（10分）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进A、B两种型号的口罩若干盒，若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元，若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元．
（1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过B型口罩盒数的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
25．（10分）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x（s），甲、乙行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙比甲晚出发　 　s，乙提速前的速度是每秒　 　cm，m＝　 　，n＝　 　；
（2）当x为何值时，乙追上了甲？
（3）在乙提速后到甲、乙都停止的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过20cm时，求x的取值范围．
2022-2023学年广东省梅州市兴宁市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2． 解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
3． 解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAF+∠EAC＝20°+65°＝85°，
∴∠BAC＝∠DAE＝85°．
故选：B．
4． 解：A、a2+（﹣b）2，无法分解因式，不合题意；
B、a2+b2，无法分解因式，不合题意；
C、﹣a2﹣b2，无法分解因式，不合题意；
D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），符合题意；
故选：D．
5． 解：根据图象，可得：不等式k1x＜k2x+4的解集是x＜2．
故选：A．
6． 解：∵BA＝BC，∠CBA＝40°，
∴∠BAC＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠1＝40°，40°+70°＝110°，
又∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣110°﹣∠CBA＝30°．
故选：B．
7． 解：①有两条边、一个角相等的两个三角形不一定全等，故①不符合题意；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故②不符合题意；
③全等三角形对应边上的中线相等，正确，故③符合题意；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故④不符合题意；
⑤52+122＝132，因此5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形，正确，故⑤符合题意．
因此正确的是③⑤．
故选：B．
8． 解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵AB＝12，AC＝19，
∴AB+AC＝31，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD
＝AB+DC+AD
＝AB+AC
＝31，
故选：B．
9． 解：不等式组整理得：，即2＜x＜，
由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解x＝3，4，5，
∴5＜≤6，
解得：15＜a≤18，
故选：A．
10． 解：如图，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，
由勾股定理得：AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE，
∴③正确；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，
∴CD＝AN＝EN＝AE，
∵AN＝BD，
∴BD＝AE，
∴①正确，②正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠FCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，
∠DBA＝90°﹣∠DAB＝67.5°，
∴∠FCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，
∴DF＝DH，
在△DCF和△DBH中
，
∴△DCF≌△DBH，
∴BH＝CF，
由勾股定理得：AF＝AH，
∴＝＝＝＝2，
∴AC+AB＝2AF，
AC+AB＝2AC+2CF，
AB﹣AC＝2CF，
∵AC＝CB，
∴AB﹣CB＝2CF，
∴④正确．
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分24分）
11． 解：＝＝4．
故答案为：4．
12． 解：∵点A（2，﹣1）与点A′关于坐标原点对称，
∴点A′的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
13． 解：若腰长为7，
∵7+7＜15，
∴不能构成三角形，
∴此种情况不存在，
若腰长为15，
∵7+15＞15，
∴能构成三角形，
此时它的周长为15+15+7＝37．
故答案为：37．
14． 解：原式＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：a（x+2y）（x﹣2y）．
15． 解：当x＜3时，kx+b＞x+a，
所以不等式kx+b＞x+a的解集为x＜3．
故答案为：x＜3
16． 解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE＝EF，
∵DE＝2，
∴EF＝2，
∵BC＝8，
∴S△BCE＝＝＝8，
故答案为：8．
17． 解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵∠PAE＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠EAC，
∵PA＝AE，BA＝CA，
∴△PAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABP＝∠ACE，
∵∠ABP＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠BCE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴CE∥AB，
∴点E的运动轨迹是直线CE（CE∥AB），
∵CB＝CA＝AB＝2，CH⊥AB，
∴BH＝AH＝1，
∴CH＝＝＝，
根据垂线段最短，可知OE的最小值＝CH＝，
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分66分）
18． 解：解不等式①，得 x＞2，
解不等式②，得 x≤4，
故原不等式组的解集为2＜x≤4．
故它的整数解为x＝3或4．
19． 解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形．
20． 解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：．
21． 解：BE＝DF，
理由如下：
∵AC平分∠BAD，
且CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴BE＝DF．
22． 解：一次函数y1＝﹣x+3过点（3，0）、（0，3），一次函数y2＝3x﹣4经过点（1，﹣1）、（0，﹣4），
函数图象如右图所示；
（1）由图象可得，
当x＝时，y1＝y2；
（2）由图象可得，
当x＜时，y1＞y2．
（3）由图象可得，
当x＞时，y1＜y2．
23． 证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；
在Rt△BDE和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DFC （HL），
∴BE＝CF；
（2）∵AD平分∠BAC，∠DAF＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠BAD＝∠DAF，
∵BD∥AC，
∴∠DBE＝∠BAC＝30°，∠DAF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE，
∴AB＝2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴AB＝2DF．
24． 解：（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤4（200﹣m），
解得：m≤160．
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤160，且m为整数，
∴当m＝160时，w取得最小值，此时200﹣m＝40．
∴最省钱的购买方案为：购进160盒A型口罩，40盒B型口罩．
25． 解：（1）由题意可知，当x＝15时，y＝0，故乙比甲晚出发15秒；
当x＝15时，y＝0；当x＝17时，y＝30；故乙提速前的速度是（cm/s）；
∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴乙提速后速度为30cm/s，
故提速后乙行走所用时间为：（s），
∴m＝17+14＝31（s）
n＝；
故答案为：15；15；31；45；
（2）设OA段对应的函数关系式为y＝kx，
∵A（31，310）在OA上，
∴31k＝310，解得k＝10，
∴y＝10x．
设BC段对应的函数关系式为y＝k1x+b，
∵B（17，30）、C（31，450）在BC上，
∴，解得，
∴y＝30x﹣480，
由乙追上了甲，得10x＝30x﹣480，解得x＝24．
答：当x为24秒时，乙追上了甲．
（3）若y1﹣y2≤20，即10x﹣30x+480≤20，
解得：23≤x，
若y2﹣y1≤20，即30x﹣480﹣10x≤20，
解得：x≤25，
若450﹣y1≤20，即450﹣10x≤20，
解得：43≤x≤45，
综上所述，当23≤x≤25或43≤x≤45时，甲、乙之间的距离不超过20cm．

广东省梅州市兴宁市2022—2023下学期八年级期中数学试卷(含解析)