吉林省长春市重点中学2022-2023高三下学期模拟考试（五）数学试题（含解析）

吉林省实验中学
2022-2023 学年度下学期高三年级模拟考试（五）
数 学
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A D D C B A
二、多选题
9 10 11 12
BC ACD ACD ACD
2．【答案】A
z 2 i 2 i 1 2i 5i【详解】因为 i1 2i 1 2i 1 2i 5 ，故 z i，
因此， z的虚部为 1 .
故选：A.
3.【答案】A
【详解】解：因为 an 是无穷等差数列，若 an 为递增数列，
所以公差 d 0，
n n 1 2a
令 S 1n na1 d 0，解得n 1 ，2 d

1
2a
1 表示取整函数， d
2a
所以存在正整数 n0 1 1
1 ，有 Sn 0，故充分；
d 0
设数列 an 为 5，3，1，-1，…，满足 S2 8 0，但 d 2 0，
则数列 an 是递减数列，故不必要，
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故选：A
4．【答案】D

【详解】由题知， AC 2AE， AP xAB yAC

所以 AP xAB 2yAE，
又因为 P为线段 BE上任一点，
所以 x 2y 1，
2 1 2 1
所以 x 2y 4
4y x 4 2 4y x 8
x y x y x y x y
4y x 1 1
当且仅当 x y 时等号成立，此时
x ， y .
2 4
故选：D.
6．【答案】C
【详解】5个人去 4 2个社区，只能是1 1 1 2的形式，分组的情况总数为C5=10，
4
再把这些分组分配到四个不同地方，有A4 24种情况，因此基本事件总数为 240；
4
甲、乙去相同的社区的情况有：A4 24种，
24 9
由对立事件可得甲、乙二人去不同社区的概率为：1 .
240 10
故选：C.
7．【答案】B
【详解】如图，取 BD的中点M，连接 PM ,AM ，
在菱形 ABCD中， A 60 ，则 ABD, CBD都是等边三角形，
则 PM MA 3,PM BD, AM BD，
因为平面 PBD 平面 ABD BD，
所以 PMA即为二面角 P BD A的平面角，
π
因为 PM 2 AM 2 AP2，所以PM AM，即 PMA ，2
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所以平面 PBD 平面 ABD，
如图，设点 E为△ABD 1 3的外接圆的圆心，则 E在 AM 上，且ME AM ，
3 3
设点O为三棱锥 P ABD的外接球的球心，则OE 平面 ABD,
外接球的半径为 R，设OE x，
2 2

R2 x2 2 3 3
2
则 3 x ，解得 x
3
，
3
3 3
R2 1 4 5所以 ，
3 3 3
2 20π
所以三棱锥 P ABD的外接球的表面积为4πR .
3
故选：B.
8．【答案】A
2x sin x
【分析】函数 f x 1 2 ，分析其性质可求 f 389 f 389 的值 ，再求 f x x 1
并讨论其性质即可作答.
2x sin x
【详解】由已知得 f x 1
x2
，
1
2 cos x x2 1 2x sin x 2x
则 f x 2 2 ，显然
f x 为偶函数.
x 1
g x f x 1 2x sin x令 2 ，显然 g x 为奇函数.x 1
又 f x 为偶函数，所以 f 389 f 389 0，
f 389 f 389 g 389 1 g 389 1 2，
所以 f 389 f 389 f 389 f 389 2 .
故选：A.
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二、多选题
9【答案】BC
【详解】对于 A,第二季度的利润分别为 20，20，
20万元，所以平均利润为 20万元，故 A错误，
对于 B,收入按照从小到大排列
为:30,40,40,50,50,50,50,50,60,60,70,80,故中位数
和众数均为 50,故 B正确，
100
对于 C,下半年的支出分别为 20,40,40,20,50,30,平均数为 ，方差为
3
2
400 +1600 +1600 +400 +2500 +900 6 100-
3 ，上半年的支付分别=1100
6 9
0+900+0+0+400+100 700 700 1100
为:30,60,30,30,10,20,平均数为 30，方差为 = ，由于 > ，
6 3 3 9
故下半年支出比上半年支出稳定，C正确，
对于 D,利润最高的为 3月和 10月，故 D错误，
故选：BC
11.【答案】ACD
【详解】由题意圆的半径 r 1
选项 A：由题意得 A1 cos ,sin ，P1 cos ,sin ，
A 1,0 ，P cos ,sin
所以 A1P
2
1 cos cos + sin sin
2
2 2cos cos 2sin sin
2 2cos
2 2
AP cos 1 + sin
2 2
cos -2cos 1+ sin
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2 2cos 所以 A1P1 AP ，故 A正确；
选项 B：因为 A1OP1 ，
1 2 1
所以扇形OA1P1的面积 S r ，2 2
故 B错误；
C 2 2选项 ， A1P cos cos + sin sin
1 1 2cos cos 2sin sin 2 2cos
2 2cos 2 2 2cos 2
2 2 1 2sin
2

2 2
4sin2

2 sin
故 C正确；
2 2
选项 D： SOAA P S S1 1 AOA1 P1OA1
1 1
1 1 sin 1 1 sin 1 1 sin sin
2 2 2 2
π 1 1 π
因为 ， 所以 S sin sin
3 OAA1P1 2 2 3
1
sin 1 sin
π cos cos π sin
2 2 3 3
1 3 1 1 sin 3

cos 1 sin π sin cos 4 4 2 2 2 2

3
故 D正确 故选：ACD.
12．【答案】ACD
【详解】抛物线C : y2 4x焦点 F 1,0 ，准线 l : x 1，
由题意 PQ x1 x2 p 7，故 A正确；
因为 PQ x1 x2 2，则以 PQ为直径的圆的半径
r x1 x 2 1，
2
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x x y y
线段 PQ
x x
的中点坐标为 1 2 , 1 2 1 2 2 2
，则线段 PQ的中点到准线的距离为 1 r，
2
所以以 PQ为直径的圆与准线 l相切，故 B错误；
抛物线C : y2 4x的焦点为 F 1,0 ， PM PP1 PM PF MF 2，
当且仅当M ,P,F 三点共线时，取等号，所以 PM PP1 2，故 C正确；
对于 D，当直线斜率不存在时，直线方程为 x 0，与抛物线只有一个交点，
y kx 1
当直线斜率存在时，设直线方程为 y kx 1，联立 2 ，消 x得 ky
2 4y 4 0，
y 4x
当 k 0时，方程的解为 y 1，此时直线与抛物线只有一个交点，
当 k 0时，则 16 16k 0，解得 k 1，
综上所述，过点M 0,1 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有 3条，故 D正确．
故选：ACD．
第 II卷（非选择题）
三、填空题
13． 2 x 5 x y 3的展开式中， x4 y2的系数是______．【答案】120
3 2
【分析】先找出 x y 中含 y2的项C3x( y)2 5，再在 2 x 中找出含 x3的项，相乘即可得
到含 x4 y2的系数．
【详解】 x y 3中含 y2 C2的项为 3x( y)2 5 3， 2 x 中含 x3的项为C522 x3，
2 x 5 x y 3 2 2 3 2 3的展开式中含 x4 y2的项为C3x( y) C52 x 120x4 y2，其系数为120 .
故答案为：120．
14.【答案】3
【详解】由已知 f x sin x x a cos x，
则 f 0 sin 0 0 a cos0 a，
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由 f 0 0 a sin 0 1 1，
又曲线 f x x a sinx 1在点 x 0处的切线方程是 2x y b 0，
1 b 0,a 2，
a b 3， 故答案为：3 .
15．【答案】1 2
π
【分析】建立平面直角坐标系，设出C cos ,sin ， 0, ，利用平面向量数量积公 2

式，结合辅助角公式得到CA CB 1 2 sin
π π
，结合 0, ，求出最小值. 4 2
【详解】以O为坐标原点，分别以OB,OA为 x, y轴，建立空间直角坐标系，
则 B 1,0 , A 0,1 π ，设C cos ,sin ， 0, ， 2

CA CB cos ,1 sin 1 cos , sin cos 2故 cos sin sin 2
1 π cos sin 1 2 sin

，
4

因为 0,
π π π 3π
2
，所以 , ，
4 4 4
π π
π
故当 ， 时，CA CB取得最小值，最小值为4 2 4 1 2
.
故答案为：1 2
16.【答案】 x2 y2 2y 5 0 （曲线系来做）
设 x2 y 3 (x2 y2 1) 0 即 (1 )x2 y2 y 1 3 0
因为方程表示圆
则1 1 2 ， 即 x2 y2 2y 5 0为所求
四、解答题
n
17．【答案】（1） a 2nn ；（2） ．n 1
【详解】试题分析：（1）当 n 1时，可求出 a1 2，当 n 2时，利用 Sn Sn 1 an可求出
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an 是以 2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求
出其前 n项和Tn .
试题解析：（1）依题意：当 n 1时，有：S1 2a1 2，又 S1 a1，故 a1 2，由 Sn 2an 2①
当 n 2时，有 Sn 1 2an 1 2②，①－②得：Sn Sn 1 an 2an 2an 1化简得：an 2an 1，
n
∴ an 是以 2为首项，2为公比的等比数列，∴ an 2 .
1 1 1 1
（2）由（1）得：bn log 2
n n，∴ 2 bnbn 1 n n 1 n n 1
T 1 1 1 1 1 1 n∴ n 1 1
2 2 3 n n 1 n 1 n 1
π
18．【答案】(1)
3
(2) 3, 3
【详解】（1）由正弦定理 acosC 2bcos A ccos A可变形为
sin AcosC 2sin Bcos A sinC cos A
2sin B cos A sin AcosC sinC cos A sin A C sin B，
sin B 0
2cos A 1，即 cos A
1
，又 A 0, π π A ；
2 3
c b a 3
2 2（ ）由正弦定理 sinC sin B sin A ，sin π
3
c 2sinC,b 2sin B，
b c 2sin B 2sinC 2sin C π

2sinC sinC 3 cosC 2sinC
3
3 cosC sinC 2cos C π
6
0 C 2π π C π 5π又 ， ，
3 6 6 6
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3 cos C π 3所以 ， 即b c的取值范围是 3, 3 .2 6 2
19．【详解】（1）解：由题意可知，这100名学生中，获一等奖的学生人数为6，
C2 1
因此，从该样本中随机抽取 2名学生，这 2名学生均获一等奖的概率为 P 6 .C2100 330
2
（2）解：因为 X ~ B 64,15 ，则 P X 64 1 ，
2
从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取3名学生进行座谈，
1
设其中竞赛成绩在 64分以上的学生人数为Y，则Y ~ B 3, ，
2
3 2
所以， P Y 0 1 1 1 ， P Y 1 C1
1 1 3
3

1

，
2 8 2 2 8
2 3
P Y 2 C2 1 1 33
1 ， P Y 3
1 1
2 2 8 2
.
8
所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：
Y 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
1 3
由二项分布的期望公式可得 E Y 3 .
2 2
20．【分析】（1）BC AC， BC PC，由线面垂直的判定定理可得 BC 平面 PAC，
再由三角形中位线定理可得答案；

（2）以C为坐标原点，CB、CA、CP的方向分别为 x轴、y轴、z轴的正方向，建立的空间
直角坐标系C xyz，

求出 AE、平面 ACD的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为 AB是圆的直径，所以 BC AC，
因为 PC垂直于圆所在的平面， BC 平面 ABC，所以 BC PC，
又因为 AC PC C， AC 平面PAC， PC 平面 PAC，
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所以 BC 平面PAC，因为D、E分别是棱PB、PC的中点，
所以 BC//DE，从而有DE 平面PAC；
（2）由（1）可知，DE 平面PAC， AE、EC 平面PAC，
所以DE AE,DE EC , AE 平面DAE， EC 平面DEC ,所以 AEC为二面角
A DE C的平面角，
π 1
从而有 AEC ，则 EC PC 2, AC 2 3，
3 2
又 BC AC， AB 4得 BC 2，

以 C为坐标原点，CB、CA、CP的方向分别为 x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，C 0,0,0 ，
A 0, 2 3,0 ,E 0,0,2 ，B 2,0,0 ，P 0,0,4 ，D 1,0,2
所以 AE 0, 2 3, 2 ，CA 0, 2 3,0 ，

CD 1,0,2 ,

设 n x, y, z 是平面 ACD的一个法向量，

n

CA 0 2 3y 0
则 ，即 ，可取 n 2,0, 1 ，
n CD 0 x 2z 0
设 AE与平面 ACD所成角为
n AE
故 sin
2 5

n
，
AE 5 4 10
所以 AE与平面 ACD 5所成角的正弦值为 .
10
21．【详解】（1）由已知得： a 2， A 2,0 ， B 2,0 ，
设M x0 , y0 x0 2 ，
2 2 2 2
因为M在椭圆上，所以b x0 4y0 4b ①
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y y y2
因为 k 0 0 0
3
MA kMB 2 ，x0 2 x0 2 x0 4 4
将①式代入，得 4b2 b2x20 12 3x
2
0 ，
所以 b2 3，
x2 y2
所以椭圆C的方程为 1．
4 3
t 0 t
（2）①设 P(4, t)(t 0)
t 0 t
，则 kPA 4 2 6， kPB ，4 2 2
所以 lPA : x
6
y 2， lPB : x
2
y 2，
t t

x
6
y 2 18t 54 2t2
联立方程 t ，得 yC 27 t2
， xC
3x2 4y2 12 0 27 t
2

54 2t2 18t
则C 27 t2
, ．
27 t
2

x 2 y 2 6t 2
联立方程 t ，得 yD
2t 6
2 ， xD 2 ，
3x2 4y
2 12 0 3 t 3 t
2t2 6 6t
则D 3 t2
, ，
3 t
2

椭圆的右焦点为 F2 (1,0)，

F C 27 3t
2 18t 2, F D t 9 6t

2 27 t2 2
， 2 , ，
27 t 3 t
2 3 t2
27 3t 2 6t 18t t 2 9
因为
27 t 2 3 t 2
0，
27 t 2 3 t 2
说明 C，D， F2三点共线，即直线 CD恒过 F2点．
②因为直线 CD恒过 F2点，
所以 CF1D的周长为 CF1 CF2 DF1 DF2 4a，
设 CF1D内切圆的半径为 r，
第 11 页 共 14 页
所以 CF1D
1
的面积 S CF 4a r，1D 2
1
所以 2c yC yD 2a r，即 4r y2 C
yD ，
若内切圆的面积最大，即 r最大，也就是 yC yD 最大，
因为C,D,F1三点不共线，
所以直线 CD的斜率不为 0，设直线 CD的方程为 x my 1，
x2 y2
代入 1得： 3m2 4 y2 6my 9 0，
4 3
可得 y
6m 9
C yD ， y y 3m2 4 C D 3m2
，
4
2
又因为 yC yD yC y
2
D 4 y y
12 m 1
C D (*)3m2 4
12n 12
令 n m2 1(n 1)，（*）式化为：3n2 1 3n 1 ，n 1
n
1
1
因为函数 y 3n 3 n 3 在 1, 上单调递增，n n

所以当 n 1，即m 0时，（*）式取最大值 3，
所以 4r 3 r 3 ，故 ，
4
9π
所以得到 CF1D内切圆面积的最大值为 ，当m 0时取得．16
22 2．【答案】（Ⅰ）y x 2；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ） ,e .
【解析】（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（Ⅱ x）由题意得 f x x 1 e a ，讨论 ln a 1, ln a 1, ln a 1根据 f (x) 0, f (x) 0判
定其单调区间；
x
（Ⅲ）法一：由题意得 f x x 1 e a ，讨论 a 0,0 a e2 ,a e2根据单调性判定
f x f 2 0是否成立即可得出答案；
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1 2 x
法二：原命题等价于 ( x x)a （x 2)e 在 2, 上恒成立，用参变分离法求出函数
2
g(x) 2e
x
最值.
x
x
【详解】（Ⅰ）当 a 0时， f x x 2 e
f 0 0 2 e0 2，
f x x 1 ex， k f (0) 0 1 e 0 1
所以切线方程为： y 2 (x 0)，即：y x 2；
（Ⅱ）由题 f x 1 x 2 ex ax2 ax，可得 f x x 1 e x ax a x 1 e x a
2
由于 a 0， f (x) 0的解为 x1 ln a，x2 1，
（1）当 ln a 1，即 a e时， f (x) 0，则 f x 在 , 上单调递增；
（2）当 ln a 1，即0 a e时，
在区间 , ln a , 1, 上， f (x) 0在区间 ln a,1 上， f (x) 0，
所以 f x 的单调增区间为 , ln a , 1, ；单调减区间为 ln a,1 .
(3)当 ln a 1，即 a e时，
在区间 ,1 , ln a, 上， f (x) 0
在区间 1, ln a 上， f (x) 0，
则 f x 在 ,1 , ln a, 上单调递增， 1, ln a 上单调递减.
（Ⅲ）解法一： f (x) x 1 ex a
（1）当 a 0时，因为 x 2，所以 x 1 0， ex a 0，所以 f (x) 0，
则 f x 在 2, 上单调递增， f x f 2 0成立
（2）当0 a e2时， f (x) 0，
所以 f x 在 2, 上单调递增，所以 f x f 2 0成立.
第 13 页 共 14 页
（3）当 a e2时，在区间 2, ln a 上， f (x) 0；在区间 ln a, ， f (x) 0，
所以 f x 在 2, ln a 上单调递减， ln a, 上单调递增，所以 f x f 2 0，
不符合题意. 2综上所述， a的取值范围是 ,e .
解法二：
1
当 x 2时， f (x) 0 x 2恒成立，等价于“当 x 2时， (x 2)e ax ax 0恒成立”.
2
1 2
即 ( x x)a （x 2)ex在 2, 上恒成立.
2
当 x= 2时， 0 a 0，所以 a R .
（x 2)ex 2ex
当 x 2
1 2 a
时， x x 0，所以 1 恒成立.
2 x2 x x
2
x x
设 g(x) 2e ，则 g (x) 2 (x 1)e
x x2
因为 x 2，所以 g (x) 0，所以 g(x)在区间 2, 上单调递增.
所以 g(x) g(2) e2，所以 a≤ e2 . 2综上所述， a的取值范围是 ,e .
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2记
吉林省实验中学
2022-2023学年度下学期高三年级模拟考试（五)
数学
本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120
分钟.
注意项：
1答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位霞粘贴
考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，
写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.：不得在答题卡上做
任何标记
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如靥改动，.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存，
第I卷
一、选择题：本题包括1至8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求
1.设集合A={xg<1},B={xx≤2}，则AUB=
()
A{x0<x≤2}
B.{xx≤2}
C.{dx<10}
D.R
2.i为虚数单位，复数2=2+，复数2的共轭复数为2，则2的虚部为
()
1-2i
A.-1
B.-2
C.-2i
D.-i
3.已知{an}是无穷等差数列，其前项和为Sn,则“{an}为递增数列”是“存在n∈N使得
Sn>0"”的
()
A。充分而不必要条件
B,必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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4.在△ABC中，E为AC上一点，AG=2A正，P为线段BE上任一点，若丽=x丽+yAC,
则2+的最小值是
()
x y
A.3+22
B.4+2W5
C.6
D.8
5.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波每一个音都是
由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asnt,音有四要素：音调，响度，音长和音
色这都与正弦函数的参数有关我们一般听到的声音的函数是
f()=6i血x+号si血2x+in3x+子血4x+,对于函数/（个，下列说法正确的是（）
2
3
A.π是∫(x)的一个周期
B.f(冈关于x=受对称
C.0是f(x)的一个极值点
D.f(x)关于（π，0）中心对称
6.将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宜传，要求每名志愿者去
一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为(）
A
B
9
D
7.在菱形ABCD中，AB=2,∠A=60°，将△BCD绕对角线BD所在直线旋转至BPD,
使得AP=√6，则三棱锥P-ABD的外接球的表面积为
()
A.
8元
B
20元
c.
20W15元
D.
25π
3
27
3
8.函数因=++血×，号函数为了闪，了B89列+689)+f(389)--38)=
x2+1
A.2
B.-2
C.3
D.-3
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