山东省滨州市沾化区、阳信县2022-2023高一下学期期中联考数学试题（含答案）

高一数学试题参考答案与评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B C B A A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 B C A B D B D A B C
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17. (本小题满分10分)
解：（1）由得， -------------------------------1分
因为，且，
所以，-----------------3分
所以， -----------------------------4分
所以向量与的夹角为． -----------------------------5分
（2）因为， ----------------------------7分
所以， ---------------------------9分
所以 ----------------------------10分
18. (本小题满分12分)
解：（1）由复数，，
则．---------------------------2分
因为为纯虚数，
所以且， ---------------------------4分
所以； ---------------------------5分
（2）由，
得，， ---------------------------6分
解得， ---------------------------8分
即， ---------------------------9分
此时，， ---------------------------10分
复数， ---------------------------11分
所以复数的虚部为1． ---------------------------12分
19. (本小题满分12分)
证明：延长，交于点， -------------------------------2分
因为，，
所以为的中点， ------------------------------3分
因为的中点为，
所以， -------------------------------4分
因为平面，平面， ------------------------------6分
所以平面， -------------------------------7分
又，平面，，平面， -------------------------------8分
所以平面平面， -------------------------------10分
即直线为直线， -------------------------------11分
所以平面． -------------------------------12分
20. (本小题满分12分)
解：（1）因为，
所以， ------------------------------1分
由正弦定理 ------------------------------2分
得， --------------------------------3分
故， --------------------------------4分
因为， --------------------------------5分
故． -----------------------------6分
（2）因为， -------------------------------7分
所以， -------------------------------8分
由余弦定理得， ------------------------------9分
所以 ------------------------------10分
解得，故， ------------------------------11分
综上可知，三角形的周长的取值范围是，． ---------------------12分
21. (本小题满分12分)
解：（1）存在，；理由如下： ------------------------------1分
连接并延长，交于，连接． ------------------------------2分
因为正方形中，，所以；------------------------------3分
又因为，
所以； ------------------------------4分
平面，平面， ------------------------------5分
所以平面． ------------------------------6分
（2）由（1）得，所以； ------------------------------7分
中，， ------------------------------8分
所以 ------------------------------9分
所以； ------------------------------10分
因为，
所以， ------------------------------11分
所以． ------------------------------12分
22. (本小题满分12分)
解：（1）
连接并延长，交于，则是的中点，----------------------------1分
设，，，
则，，设
， --------------------------2分
所以．
-------------------------------3分
因为，，三点共线，故存在实数，使，---------------------------4分
所以， --------------------------------5分
所以，
即 的值为常数；-------------------------------6分
（2）设，则， -----------------------------7分
在中，，，，
由正弦定理得：，
即，
所以， --------------------------------8分
在中，，
由正弦定理得：，
即，
所以， --------------------------------9分
--------------------------------10分
因为，所以，
所以； --------------------------------11分
所以的取值范围是，． --------------------------------12分2022-2023学年第二学期期中考试
高一数学试题
本试卷共 4页，共 22题，满分 150 分,考试时间为 120 分钟.
注意事项：
1.答题前务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号填在规定位置.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米字迹的签字笔书写，
字迹工整、笔迹清楚.
一、单项选择题：本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
2023
1 2i．复数 z (i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 （ ）
1 2i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设 a，b是两条不同的直线， 是平面，b ，那么“ a / /b ”是“ a / / ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．记 ABC 的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，已知 B 30 ，b 2 ， c 2，
则有 （ ）
A． a 3 1 B． A 15
C．C 45 D． ABC为钝角三角形

4 1

．在 ABC 中，已知D是边 AB上的一点，若CD CA CB，则 等于 （ ）
3
A 1 B 2 1 3． ． C． D．
3 3 2 4
5．已知 ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a， b ， c ，若 c 2a cosB ，
a cosB bcos A 2a，则 ABC的形状是 （ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．一个长、宽、高分别为80cm，60cm，100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现
放入一个直径为 40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，
那么水槽中的水面升高了 （ ）
A 5 cm B 10 ． ． cm C 20 ． cm D 80 ． cm
36 9 9 96
7 ．已知 ABC为锐角三角形， AC 2， A ，则 BC的取值范围为 （ ）
6
A (1, 2 3 ) B (2 3． ． , 2) C． (1,2) D． (1, )
3 3
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8．如图，正方形 ABCD的顶点 A，D分别在 x轴正半轴，y轴正半轴上移动．若 | AD | a，

OB OC 2，则 a的最大值是 （ ）
A．1 B． 2 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9．已知 z为复数，下列说法正确的是 （ ）
A． zz z2 B． zz | z |2 C． | z z | 2 | z | D． z 1 z
10．已知平面 c，直线 a ， a / /c，直线 b ， b与 c相交，则 a和 b的下
列位置关系中不正确的是 （ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能

11 ．已知非零平面向量 a，b， c，则下列结论正确的是 （ ）
A

．存在唯一的实数对m， n，使得 c ma nb

B a ．若 b a c 0，则b / /c C ．若 a，b， c共线，则 | a b c | | a | | b | | c |

D a ．若 b 0，则 | a b | | a b |
12．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形， E， F ，G，H 分
别为 PA， PD， PC， PB的中点．则在此几何体中，给出下列结论，其中正确的
结论是（ ）
A．平面 EFGH / / 平面 ABCD
B．直线 PA / /平面 BDG
C．直线 EF / /平面 PBC
D．直线 EF / /平面 BDG
三、填空题：本 大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13 | a | | b | 3 e

．已知 ， 是与向量b 方向相同的单位向量，向量 a在向量b上的投影向量
3 e

为 ，则 a与b 的夹角为 ．
2
14．在 ABC中，若 A 60 a 3 a b c ， ，则 ．
sin A sin B sinC
15．已知一个圆锥的母线长为 2，其侧面积为 2 ，则该圆锥的体积为 ．
16．在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B，C 的对边，若 a 3， b c 3，向量
m (2cos2A 3,2)， n (2cos A,1) ，且m / /n ．则 ABC 的面积是 ．
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四、解答题 :本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)

已知向量 a (1, 1)， | b | 2，且 (2a b) b 4．

（1 ）求向量 a与b的夹角；
（2）求 | a b |的值．
18．(本小题满分 12分)
已知复数 z1 a i， z2 1 ai，其中 i是虚数单位， a R．
（1）若 z1 z2为纯虚数，求 a的值；
2 z（ ）若 z21 2z1 2 0，求 1 的虚部．z2
19．(本小题满分 12分)
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为梯形，CD / /AB， AB=2CD，设平面 PAD
与平面 PBC的交线为 l， PA， PB的中点分别为 E， F ，证明： l / /平面DEF ．
20．(本小题满分 12分)
记 ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，
已知 sin2 A sin2 C sin2 B sinC sin B．
（1）求角 A；
（2）若 a 3，求 ABC周长的取值范围．
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21．(本小题满分 12分)
如图，正四棱锥 P ABCD 的侧棱长和底面边长均为 13， M 为侧棱 PA上的点，且
PM :MA 5 :8．
（1）在线段 BD上是否存在一点 N，使直线MN / /平面 PBC？如果存在，求出 BN : ND
的值，如果不存在，请说明理由；
（2）假设存在满足条件（1）的点 N，求线段MN 的长．
22．(本小题满分 12分)
如图，边长为 1的正三角形 ABC的中心为O，过点O的直线与边 AB， AC分别交于点
M ， N．
1 1 1（ ）求证： 的值为常数；
| AM | | AN |
（2 1 1）求 的取值范围．
|OM |2 |ON |2
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