安徽省示范高中培优联盟2022-2023高一下学期5月春季联赛数学试题（含答案）

安徽省示范高中培优联盟 2023 春季联赛高一数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A D A D A C A ABD AD ABD BD
一、单选题
1．【答案】D
【解析】∵ A B B，则有 B A，当 B 时， a 0；当 B 时，
a 1，∴实数 a组成的集合为 1,0,1 ，故选 D项.
2．【答案】A
【解析】若 x 2k (k Z )，则
3 tan x 3
，反之若 tan x 3，则 x k (k Z )，3
所以“ x 2k (k Z )”是“ tan x 3”的充分不必要条件，故选：A.3
3．【选考人教版】
【答案】D
πi
【详解】对于 A， e 2 1 cos π isin π 1 i 1，故 A错误；
2 2
ix ix
对于 B， e e cos x+isin x (cos x isin x) isin x，故 B错误：
2 2
对于 C，故 e5i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 (cos5,sin5)，
3π
因为 5 2π，所以 cos5 0,sin5 0，则该点位于第四象限，故 C错误；
2
对于 D，因为 (cos x isin x)2 ei2x cos2x isin2x，故 D正确；
3．【选考北师大版】
【答案】D
【解析】显然平均数不变，因为错误的数据都在平均数 20附近，故正确的数据都远离
平均数 20，所以 s2 28，故选 D项.
4．【答案】A
【解析】由题意可得 c 6,a b 10，则b 10 a，
2 2
1 2 2 2 2S a c a c b
2 1 a2 36 (10 a)2
所以 36a
2
4 2 4 2
1
[36a2 (10a 32)2 4 (a 2)(8 a) 4 a 2 8 a 12，当且仅当 a 5时等号成
4 2
立.
故选：A
试卷第 1页，共 9页
5．【答案】D
【解析】8cos2 25 tan 40 4
1 cos50
8 tan 40 4 4cos50 tan 40
2
4sin 40 sin 40 4sin 40 cos40 sin 40 2sin80 sin 40 2cos10 sin 40
cos40 cos40 cos40 cos40
2cos(40 30 ) sin40 3cos40
3，故选 D项.
cos40 cos40
6．【答案】A

【解析】以向量 a 与 b 为两边作△ ABC， a AB，b BC ， CAB 60

则 a b AC，则在△ ABC中，由正弦定理可得
BC AB
，
sin CAB sin ACB

a 2 3 a 2 3即 sin ACB，所以 ，当且仅当 ACB 90 时等号成立，所以 t 2 3 .
b 3 b 3

3
故选 A项.
7.【答案】C
【解析】由题意可得 ex1 e1 x1 a=0，ex2 e1 x2 a=0 ，即 x1, x2 是方程 (e
x )2 aex e 0的
两个根，则 ex1 ex2 a,ex1 x2 e，即 x1 x2 1 .
又 f (x1) f (x2 ) 4，
即 ex1 e1 x1 ax x2 1 x21 e e ax2 4
e e
， ex1 ex2 ( x x ) a(x xe 1 e 2 1 2
) 4
e(ex1 ex2ex1 ex ) ea2
ex x
a (x1 x 2) 4，即 a a 4，解得 a 4，故选 C项.1 2 e
8．【答案】A
【解析】因为 lna 2ln2ln3 ln2ln9,lnb 3ln2ln3 ln2ln27，故 a b；
因为 lnb 3ln 2ln3 ln8ln3 (ln8 ln3)2 ln2 24 ln2 5，而
2 ln c ln
25，
故 b c；所以 a b c，故选：A.
二、多选题
9．【答案】ABD
【解析】由题意可得 f (x) 2cos4x， g(x) 2cos(8x )，故 A，B，D正确.
10．【人教版】【答案】AD
【解析】对于选项 A，因为 BC1 / /EF ， A1BC1为直线 A1B与直线 EF的所成角，又△
A1BC1为等边三角形，所以 A1BC1 60 ，故选项 A正确；
对于选项 B，因为直线 A1C 平面 BC1D，平面 BC1D与平面DEF 不平行，故选项 B错
试卷第 2页，共 9页
误；
对于选项 C，因为CD 平面 BCC1B1，而CD与平面DEF 相交，故选项 C错误.
对于选项 D，设正方体的棱长为 2，则V 1 1F CDE 2
1
1 1 ，V
3 2 3 ABCD A1B1C D
8，所
1 1
以平面DEF 将正方体截成的两部分的体积之比为 (8
1
) : 1 23:1，故选项 D正确；
3 3
10．【北师大版】【答案】AD
【解析】对于 A选项，低于 60 cm的植物所占的频率 0.005 0.005 0.010 10=0.2，
所以，此次检测植物的总数为 20 100，故 A项正确；对于 B选项，前 5个矩形的面
0.2
积之和为 0.005 2 0.01 0.015 0.02 10 0.55，所以，第 80百分位数在 80,90 之
间，故 B项错误；对于 C选项，由频率分布直方图可知，众数的估计值为 80 90 85，
2
故 C项错误；对于 D项， 此次检测植物生长高度在 70,90 之间的有
0.02 0.03 10 100=50株，故 D项正确.
11．【答案】ABD
【解析】对于 A项，若 f (1) 0，由函数 f x 的图象旋转 30 后与原图像重合，所以
f ( 3) 1 ， f (1) 3 ， f (0) 1， ， f ( 3 ) 1 ，矛盾，故 f (1) 0；同理可得
2 2 2 2 2 2
f (1)的值不可能为 3 ， 3，故选 ABD.
3
12.【答案】BD
【解析】令 x x 3代入 f (x) g(x 3) 3，可得 f (x 3) g(x) 3，消去 g(x)可得
f (x 3) f (1 x)，所以 f (x)关于 x 2对称，又 f (2 x) f (x) 0 ，所以 f (x)关于 (1,0)
对称，所以 f (x)关于 x 0对称，故 A项错误；又 f (x)的周期为 4，而 g(x) 3 f (1 x)
所以 4为 g(x)的周期，故 B项正确；而 f (1) 0, f ( 1) 0, f (0) f (2) 2 f (1) 0，故
f (1) f (2) f (20) 0 ，故 C项错误；
g(1) g(2) g(20) 20 3 [ f (1) f ( 1) f ( 2) f ( 19)] 60，故 D项正确.
三、填空题
1
13．【答案】
3
【解析】由 f (x) f ( x) loga ( x
2 3a x) log ( x2a 3a x) 0，即 loga (3a) 0
a 1解得 .
3
试卷第 3页，共 9页
14. 32 【答案】
3
1 2 1 2 32
【解析】由扇形的面积公式可得 S 2ABCD 6 2
2 .
2 3 2 3 3
5
15.【答案】 6
2
2 b
【解析】由 ln 2a 2b 4，可得 2a ln a 2(2 b) ln(2 b) ，因为
a
f (x) 2x ln x为增函数，所以 a 2 b，即 a b 2
1 2 2 2 3 1 (a b)( 2 3) 1 (5 2b 3a ) 5 6，
a b ab a b 2 a b 2 a b 2
1 2 2 5
当且仅当 3a 2b时等号成立，所以 的最小值为 6 .a b ab 2
16. 7 9【答案】 ( , )
4 2
【解析】
由题意可得m 0，如图所示
1 7 7（ ）当 0 m 2时，则 2 f (x)min f (x)max ，即 2m ，解得 m 2；2 4
（2）当 2 m 3时，则 2 f (x) f (x) 2m m 3min max ，即 ，解得 2 m 3；2
（3）当m 3时，则 2 f (x)min f (x) 6 m
3 9
max ，即 恒成立，解得 3 m ；2 2
m 7 9综上可得实数 的取值范围是 m .
4 2
四、解答题
17. 【答案】（1） 3；（2）略.

【解析】解：（1）由题知OP1 2e1 3e2 ,OP2 3e1 4e2 ， ………………1分

P1P2 OP2 OP1 e1 e2 ………………2分

e 11 e2 1,e1 e2 e1 e2 cos60 ………………3分2
试卷第 4页，共 9页
2 2 2
故 P1P2 e1 e2 e1 2e 11 e2 e2 1 2 1 3 ； ………………4分2

（2）由题知OM x1e1 y1e2 ，ON x2e1 y2e2 ， ………………5分

①当ON x2e1 y2e2 0时，即 x2 y2 0，显然 x1y2 x2 y1 0 . ………………6分

②当ON x2e1 y2 e2 0时，即x ， y2至少一个不为 0，不妨设 y2 02 ，

若OM //ON，则存在 R，使得OM ON，故 x1e1 y1e2 x2e1 y2e2 ，……7分
x x 0
即 x1 x2 e1 y1 y2 e2 0 e e 1 2，因为 1， 2 不共线，所以 y y ， ………8分 1 2 0
y y由 1 代入 x1 x2 0得 x
1
1 xy y 2
0，即 x1y2 x2 y1 0 . ………………9分
2 2

综上，若OM //ON，则 x1y2 x2 y1 0 . ………………10分
18．【答案】(1) f x 2sin 2x π
4
(2) 3π单调增区间为 0, 7π , π 和
.
16 16 2
【解析】（1） ， 2 ， | | π πf (0) 2sin 2 sin ，故 ； …………1分
2 2 4
3 2π 3
由 f (x)在区间 ( , )上单调，可得， 2( ( )) 8 8 , 解得 2， …………3分8 8
f 3π 2sin 3π π由题意可得 2，故
3π π π 2kπ,k Z，
8 8 4 8 4 2
即 2 16 k,k Z . …………4分
3
而 0 2，所以，当 k 0, 2时满足条件，
故 f x π 2sin 2x ； …………6分
4
2 g(x) 2sin 2x π（ ） cos2x 2 sin 2x cos2x cos2x …………7分
4
2
sin 4x 2 cos4x 1 sin 4x
π 2
， …………8分2 2 4 2
取 π 2kπ 4x π π 2kπ，解得 π kπ 3π kπ x ,k Z， …………9分
2 4 2 16 2 16 2
当 k 0时， 0 x
3π
， …………10分
16
当 7π πk 1时， x ， …………11分
16 2
故函数在 0,
π 0, 3π的单调增区间为 7π π
2
和
16
, .…………12分
16 2
试卷第 5页，共 9页
19．【人教版】【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【解析】（1）因为点 H为△ ABC的垂心，所以 AH BC …………1分
又 PH 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 PH BC …………2分
又 AH PH H ，所以 BC 平面 PAH ， …………3分
因为 PA 平面 PAH ，所以 AP BC …………4分
又 AP PC ， PC BC C，所以 PA 平面 PBC ， …………5分
因为 PA 平面 PBC ，
所以 PA PB …………6分
(2)取 PA的中点M ，连接 CM，BM，
因为 PB=AB，所以MB⊥PA， …………8分
由（1）知 AP⊥BC，又 BM∩BC=B，所以 AP⊥平面MBC， …………10分
所以MC⊥AP，又M为 AP的中点，所以 PC=AC. …………12分
19．【北师大版】
【解析】（1）选派乙参加数学竞赛较合适.
由题意得 x 78 80 65 85 92 80， …………1分甲 5
2 2 2 2
s2 (78 80) (80 80) (65 80) (85 80) (87 83)
2 (92 80)2 583
……2分甲 5 5
x 75 86 70 95 74 ， …………3分乙 805
s2 (75 80)
2 (86 80)2 (70 80)2 (95 80)2 (74 80)2 422
， …………4分乙 5 5
由 x x ,s2 s2 ，可知甲 乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，故选派乙参加数学甲 乙 甲 乙
竞赛较合适； …………6分
（2）5道备选题中学生会的 3道分别记为 a,b,c，不会的 2道分别记为 E,F ，
方案一：学生从 5道备选题中任意抽出 1道的结果有： a,b,c,E,F，共 5种，
抽中会的备选题的结果有 a,b,c，共 3种，
所以此方案学生可参加复赛的概率 P 3 . …………8分1 5
试卷第 6页，共 9页
方案二：学生从 5道备选题中任意抽出 3道的结果有：
a,b,c , a,b,E , a,b,F , a,c,E , a,c,F ,(a,E， F), b,c,E , b,c,F , b,E,F , c,E,F ，
共 10种， …………9分
抽中至少 2道会的备选题的结果有：
a,b,c , a,b,E , a,b,F , a,c,E , a,c,F , b,c,E , b,c,F ，共 7种，…………10分
所以此方案学生可参加复赛的概率 P 7 ，2 …………11分10
因为 P1 P2，所以推荐的选择方案二进入复赛的可能性更大. …………12分
20. 1【答案】（1） 1 k ；（2）略.
2
【解析】（1） f (x) | x2 kx 2k 2 | | (x k)(x 2k) | …………2分
k 1 1
由题意可得 ，解得 1 k ； …………5分
2k 1 2
（2）由题意可得， a2 ak m 1① …………6分
b2 bk m 1② …………7分
(a b)2 a b k m 1③ …………8分
2 2
2
①+② + 2 (a b)（－ ）×③，消去 k,m，可得 a2 b2 4 …………10分
2
(a b)2
即 4，解得 b a 2 2 .…………12分
2
21．【答案】(1)略；(2) 9
4
2 2r 2
2 2 2 AE
【解析】（1） cos AEO AE EO AO 3 ， …………1分
2 AE OE 2 3 r AE
3
2
BE 2 2rBE 2cos BEO EO
2 BO 2
3 ， …………2分
2 BE OE 2 3 r BE
3
由 cos AEO cos BEO 0，
2r 2 2r 2AE 2 BE 2
可得， 3 3 0，
2 3 r AE 2 3 r BE
3 3
2 2
化简可得 AE 2 BE 2r 2r BE BE 2 AE AE 0， …………3分
3 3
2
即 ( AE BE )( AE BE 2 r ) 0
3
试卷第 7页，共 9页
2 2
所以 AE BE 2 r ，同理 AF 2r FC …………4分
3 3
2
所以 AE EB AF FC 2r ； …………5分
3
（2）由 cos AOE cos AOF 0，
AO 2 EO 2 AE 2 AO 2 FO 2 AF 2可得 0 …………6分
2 AO OE 2 AO OF
2
化简得 AE 2 AF 2 2(AO 2 EO 2 ) 8r …………7分
3
2
所以 AE AF 4r ，当且仅当 AE AF时，等号成立； …………8分3
1
S AB AC sin A ABC 2 AB AC (AE BE )(AF FC )
S 1 AEF AE AF sin A AE AF AE AF
2
…………9分
AE AF AE FC BE AF BE FC

AE AF
AE AF 2r
2 AE 2r2 AF 4r4 1

3 AF 3 AE 9 AE AF
AE AF
2r 2 1 2r 21 1 4r
4 1
…………10分
3 AF 2 3 AE 2 9 (AE AF )2
1 2r
2 AE 2 AF 2 4r 4 1

3 (AE AF )2 9 (AE AF )2
1 20r
4 1 20r 4 9 9
2 1 9 (AE AF ) 9 16r 4 4
S
所以 ABC
9
的最小值为 . .…………12分
S AEF 4
22 3 3 11．【答案】(1) ( ,3]； (2) m
2 4
【解析】（1）由题意可得 ex (1 m)e x 1 m 0在 [ln 2, )上恒成立， ………1分
令 ex t，则 t [2, )
即 t 1 (1 m) 1 m 0在 [2, )上恒成立
t
即 t2 (1 m)t 1 m 0在 [2, )上恒成立 ………2分
令 g(t) t2 (1 m)t 1 m， t 2
①当 m 1 2时，即m 3，函数 g(t)在 (2, )上单调递增，
2
g(t)min g(2) 3 m，由 3 m 0可得m 3； ………3分
试卷第 8页，共 9页
②当 m 1 2时，即m 3，函数 g(t)在 (2,
m 1)上单调递减，在 (m 1, )上单调递
2 2 2
2
增，所以 g(t) g(m 1) m 2m 3 ，min 2 4
由 m
2 2m 3
0，解得m 3（舍） ………4分
4
综上，可得实数 m的取值范围为m 3； ………5分
（2） f (x) me2x me 2x (ex e x ) 3 m(ex e x )2 (ex e x ) 2m 3，
令 1 3t ex e x ，因为 y ex 在x [0,ln 2]上单调递增，所以 0 t ………7分e 2
即方程mt2 t 2m 3 0在 t [0,
3]上有 2个不同的根 ………8分
2

m 0
m 0 3 11 m 3 11
0 4 4
1 3 1
即 0 ， 即 m
2m 2 3
………10分

2m 3 0
m
3

2
9m 3 2m 3 0
4 2 18

m
17
3 3 11
解得 m 2 4 ………11分
3 3 11
所以，实数 m的取值范围为 m ………12分
2 4
试卷第 9页，共 9页姓名
座位号
3.【选考人教版】欧拉公式e=cosx十i sin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞土著名数学家欧拉
(在此卷上答题无效)
发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此
绝密★启用前
公式可知，下面结论中正确的是
安徽省示范高中培优联盟2023年春季联赛（高一）
A.e-1=0
B.sin x =e ei
2
数
学
C.e在复平面内对应的点位于第二象限D.(cosx十i sin x)2=cos2x十isin2x
【选考北师大版】小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两
个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至
后，重新求得该组数据的平均数为x,方差为s2,则
第6页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
A.x>20,s2<28
B.x28
考生注意事项：
C.x=20,52<28
D.x=20,s2>28
4.我国南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中给出了三角形的面积公式：已知△ABC的
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡
上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
三边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=
.在△ABC中，c=6,
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
a十b=10,则△ABC面积的最大值为
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
A.12
B.10
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹
C.8
D.6
清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签
5.计算：8cos225°一tan40°一4的值为
字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试
A.1
B.3-1
2
题卷、草稿纸上答题无效。
C.3+1
2
D.√3
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
6.已知平面向量a与a十b的夹角为60°，若|a一tb|≤0恒成立，则实数t的取值范围为
第I卷（选择题共60分）】
a[+
[停+
一、选择题（本题共8小题，其中第3题为选考题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项
C.[2,+∞)
D[合+∞j
中，只有一项是符合题目要求的。)
7.已知函数f(x)=e一e一ax,若x1x2是函数g(x)=e十e-一a的两个零点，且f(x)
1.已知集合A={x|x2-1=0},B={xax=1},若A∩B=B,则实数a取值集合为
十f(x)=一4，则实数a=
A.{-1}
B.{1
C.{-1,1》
D.{-1,0,1}
A.2
B.3
C.4
D.5
2.“x=2kπ十买(k∈Z)”是“tanx=V3”的
3
8.已知a=223,b=32,c=55,则
A,充分不必要条件
B.必要不充分条件
A.a<b<c
B.b<a<c
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C.a<c<b
D.b<c<a
命题：颜上一中梁宝同审题：霍山中学朱宝山芜湖县一中汪茜制卷：等高教育第1页（共6页》
命题：额上一中梁宝同审题：霍山中学朱宝山芜湖县一中汪茜制卷：等高教育第2页（共6页》

安徽省示范高中培优联盟2022-2023高一下学期5月春季联赛数学试题（含答案）