上海市高桥中学2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含答案）

高桥中学2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一、填空题：（每题3分，共36分）
1、函数的导函数为______
2、已知，则______
3、过点作曲线的切线，则切线方程为______
4、已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为______mm/min
5、若是函数的极值点，则实数______
6、已知函数，若，则______
7、若，则______
8、“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有______种
9、投掷红、蓝两色均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于9，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率______
10、已知，则______
11、若函数存在单调递增区间，则a的取值范围是______
12、设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______
二、选择题：（每题3分，共12分）
13、某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天开展优惠活动，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（ ）
A． B． C． D．
14、已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（ ）
A．在处取极小值 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在上为增函数
15、已知，则a被10除所得的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
16、关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是的极大值点；
②函数有且只有1个零点；
③存在正实数k，使得成立；
④对任意两个正实数，，且，若，则．
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
三、解答题：
17、（8分）已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为31．
（1）求展开式中项的系数的最小值；（6分）
（2）当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数．（2分）
18、（10分）4男3女排队拍照．
（1）女生不在两边的排法有多少种？（3分）
（2）恰有3个男生连排的排法有多少种？（3分）
（3）甲在乙的左边的排法有多少种？（4分）
19、（10分）已知函数，是函数的一个极值点．
（1）求函数的单调增区间；（5分）
（2）当时，求函数的最小值．（5分）
20、（10分）已知函数的图像在处的切线与直线平行．
（1）求函数的极值；（4分）
（2）若对任意的，，且都有，求实数m的取值范围．（6分）
21、（14分）已知．
（1）若，求在处的切线方程；（3分）
（2）讨论的单调性；（5分）
（3）设，求在上的零点个数．（6分）
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.1或3; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11、若函数存在单调递增区间，则a的取值范围是______
【答案】
【解析】解答存在单调递增区间
在上有解,即在上有解,
令,则
当时,单调递增,当时,单调递减,
又,,
当时,,令,则,
当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,
,即恒成立,此时不满足题意.的取值范围是.
故答案为:.
12、设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______
【答案】
【解析】由,构造函数,
因为是定义在上的奇函数,所以为偶函数,
又当时,为减函数,且,
因为,解得,,解得或,
不等式等价于,
即或,解得或,故答案为:.
二、选择题
13.B 14.A 15.B 16.C
15、已知，则a被10除所得的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】,
又,
,,故,选B.
16、关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是的极大值点；
②函数有且只有1个零点；
③存在正实数k，使得成立；
④对任意两个正实数，，且，若，则．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】,当时,0;
当时,.所以在上单调递减，
在上单调递增,是的极小值点,故①错误.
根据函数的单调性及极值点，作出函数的大致图象，如图所示，
作出直线,易知直线与的图象有且只有1个交点,偶函数有且只有1个零点,故②正确.
若,则,工,则,
令,则,
所以在上单调递增,在,上单调递减,,
所以在上单调递减,无最小值,
不存在正实数,使使恒成立,故③错误.
由可知,
要证,即证,
且在上单调递增,即证,
又,所以证,即证.
令,
则,所以在上单调递减,
所以,所以,④正确.故选C.
三．解答题
17.（1）81 （2）156
18.（1） （2）1728 （3）2520
19.（1）函数的单调增区间为； (2)的最小值-1
20、（10分）已知函数的图像在处的切线与直线平行．
（1）求函数的极值；（4分）
（2）若对任意的，，且都有，求实数m的取值范围．（6分）
【答案】（1）在处取得极大值为,无极小值;
（2）实数的取值范围是.
【解析】(1)的导数为,
可得的图象在处的切线斜率为,由切线与直线平行,
可得,即,所以,
由,可得,由,可得,
则在递增，在递减,可得在处取得极大值为,无极小值;
(2)可设,若,,
可得,即有,
设在为增函数,
即有对恒成立,
可得在恒成立,由的导数为
当,可得在递减,在递增,
即有在处取得极小值,且为最小值,可得,
解得,则实数的取值范围是.
21、（14分）已知．
（1）若，求在处的切线方程；（3分）
（2）讨论的单调性；（5分）
（3）设，求在上的零点个数．（6分）
【答案】（1）切线方程为
（2）函数有极大值为，无极小值.
（3）在上没有零点.
【解析】（1）由函数,当时,,
所以,所以在处的切线斜率为:,
所以所求切线方程为:,即.
（2）由,所以,
当时,,所以函数在上单调递增,无极值,
当时,由,则,若,则,
所以在议调递增，在上单调递减.
所以为函数单调递增区间,为函数单调递减区间,
此时函数有极大值为，无极小值.
（3）由,所以，
今,由,所以,由
令,此时,在上单调递减,
所以,即,所以在上单调递增，
由，所以在上单调递增，
所以,即,
当时，则与在只有一个交点,此时在上只有一个零点.
所以
或时,
则与在无交点,
此时在上没有零点.

上海市高桥中学2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含答案）