江苏省南京市六校联合体2022-2023高一下学期第二次联合调研（5月）数学试题（含答案）

2022-2023 学年第二学期六校联合体第二次联合调研
高一数学参考答案
一选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.D
二、选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选或
有选错的得 0 分．
9.ACD 10.ABD 11.BC 12.AC
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填涂在答题卡相应位置．
13. 3－ 14.－3 15.8 6 16.( 4＋ 3－1)R
2
四、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本题满分 10分)
解：(1)设复数 z＝a＋bi，z－i＝a＋(b－1)i是实数，
b＝1，则 z＝a＋i，………………………………………………………………………………1分
z－3i a－2i 2－2a＋(a＋4)i
＝ ＝ ，………………………………………………………………3分
－2－i －2－i 5
z－3i
为纯虚数， ，解得
2 i 2－2a＝0且 a＋4≠0 a＝1，
z＝1＋i………………………………5分
－ －
(2) 由(1)知，z z 1＋i m－1 m＋11＝ ＝ ＝ ＋ i………………………………………………7分m＋i2023 m i m2 2－ ＋1 m ＋1
z m－1 m＋11在复平面上对应的点为( ， )，z1在复平面上对应的点在第二象限，
m2＋1 m2＋1
m－1
＜0，
m2＋1
m＋1 0 ………………………………………………………………………………………9分＞ ．
m2＋1
－1＜m＜1，即实数 m的取值范围为(－1，1)…………………………………………………10分
18．(本题满分 12分)
解：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝－5解得 a·b＝1…………………………………………3分
(1) (a－kb)·(ka＋b)＝ka2－(k2－1)a·b－kb2＝－k2－3k＋1＝0………………………………………5分
k －3± 13＝ …………………………………………………………………………………………6分
2
(2) a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝3，(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，|2a＋b|＝2 3…………………9分
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cos a, 2a b a (2a b ) 3 3 ………………………………………………11分
a 2a b 1 2 3 2

a, 2a b [0, ] a, 2a b ， ……………………………………………………12分
6
19．(本题满分 12分)
(1)f(x) 3 1＝4cosx( sinx＋ cosx)－1＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1………………………………………2分
2 2
＝ 3sin2x π＋cos2x＝2sin(2x＋ )………………………………………………………………………4分
6
T＝π………………………………………………………………………………………………5分
(2)f(α) π 6 π 3＝2sin(2α＋ )＝ sin(2α＋ )＝
6 5 6 5
π π π 2π π 3 3 π π
由 ＜α＜ 得 ＜2α＋ ＜ ，由 sin(2α＋ )＝ ＜ 得 0＜2α＋ ＜ ……………………………7分
4 6 6 3 6 5 2 6 3
cos(2α π＋ )＝ 1－sin2(2α π 4＋ )＝ …………………………………………………………………9分
6 6 5
π π π π π π 3＋4 3
所以 cos2α＝cos[(2α＋ )－ ]＝cos(2α＋ )cos ＋sin(2α＋ )sin ＝ ……………………12分
6 6 6 6 6 6 10
20．(本题满分 12分)
解(1)由已知得，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30o，PB 1＝ …………………………………………2分
2
在△PBA中，由余弦定理得
PA2 1 1＝3＋ －2× 3× cos30° 7 7＝ ，∴PA＝ ；…………………………………………………5分
4 2 4 2
（2）设∠PBA＝α，由已知得，PB＝sinα，…………………………………………………7分
在△PBA中，
3 sinα PA
由正弦定理得， ＝ ＝ 化简得， 3sinα＝2cosα，………………………10分
sin120° sin(60°－α) sinα
π 21
又由 cos2α＋sin2α＝1,0＜α＜ ，得 sinα＝
2 7
所以 PA 2 21＝ ……………………………………………………………………………………12分
7
21．(本题满分 12分)
(1)证明：设 AC与 BD交于点 O，连接 EO，因为 E，O分别为 PC，AC
的中点，所以 EO∥PA……………………………2分
又 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥BD，PA⊥AC，又 EO∥PA，
所以 EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD＝O，所以 EO⊥底面
ABCD，……………………………4分
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又 AC 平面 ABCD，所以 EO⊥AC，
又四边形 ABCD为菱形，所以 BD⊥AC，
又因为 EO∩BD＝O，EO，BD 平面 BED，所以 AC⊥平面 BED；…………………………6分
(2)过 O作 OF⊥AB于 F，连接 EF，
OE⊥平面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 OE⊥AB，
又 EO∩FO＝O，EO、FO都在平面 EOF内，所以 AB⊥平面 EOF，
又 EF 平面 EOF，所以 AB⊥EF，即∠EFO为二面角 E-AB-C的平面角，……………………9分
1 2 1 3
由 EO＝ PA＝ ，△ABC是边长为 1的等边三角形，即 FO＝ sin600＝ ，
2 2 2 4
在直角三角形 EOF 11 FO 33 2 22中，EF＝ ，即 cos∠EFO＝ ＝ ，sin∠EFO＝
4 EF 11 11
2 22
所以所求二面角的正弦值为 ． ……………………………………………………………12分
11
22．(本题满分 12分)
→ → → → → → → → →
(1)由题意BP 1＝ BC，即AP－AB 1＝ (AC－AB ) 2 1，故AP＝ AB＋ AC，因为 Q为线段 AP上一点，
3 3 3 3
2
设 AQ mAP mAB
1
mAC AB 1 BC , 0 m 1 ，
3 3 15
1 1
又 BC AC AB AB BC ( )AB
1
AC
15 15 15
2 1 1 1
即 mAB mAC ( )AB AC 又
3 3 15 15 AB,AC不共线，
2m 1
m 1
3 15 5

1m 1
1
1 3 15 5 所以 ，解得 ，所以 5；………………………………………………3分
1
（2） AB AC AB AC cos 60 2 2 2，
2
2 1
由（1）知 AP AB AC， AQ mAP
2
mAB 1 mAC , 0 m 1 ，
3 3 3 3

QC AC AQ AC 2mAB 1 mAC 1 1 m AC
2
mAB，
3 3 3 3

QA QC 2

mAB 1
1 2
所以 mAC 1 m AC mAB 3 3 3 3
2 2 2 m 1
1
m AB AC
4
m2AB 1 1 2 m 1 m AC m2
3
AB AC
3 9 3 3 9
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2m 1 1m 4 1 1 2 28 8 2 m
2 4 m 2 2
3 3 9 3
1 m 4 m 2 m m，
3 9 9 3
设 f m 28 m 2 8 m , 0 m 1
9 3
m 3 f m f 3
2

28 3 8 3 4 4
当 时，
7
，所以QA QC的最小值为
min 7 9 7 3 7 7 7
…………………………………………………………………………………………………………7分
（3）在△ABP中，AP2 4 4 4 1 28 2 7＝ ＋ －2· ·· ＝ ，AP＝ .
9 3 2 9 3
在△QPC中，设∠PCQ＝α，∠PQC＝β，∠QPC＝θ
AB AP
在△ABP 2 2 7 3 sinθ 3 3 cosθ 1中， ，即， ＝ · ， ＝ ， ＝
sin( ) sin 60 sinθ 3 2 2 7 2 7
4
PQ CQ PC PQ CQ
在 QPC 3中， ，即
sin sin sin sin 3 3 sin
2 7
4 2 3 4 2 3sin sin
PQ 3 ,CQ 7 QPC l PQ CQ PC 3 7 4，所以 的周长 .
sin sin sin 3
sin sin( ) sin 1 cos 3 3 l 2 3 cos 1 2 4 代入上式得： .
2 7 2 7 7 sin 3 7 3
令 f ( ) cos 1 , CAP .
sin
cos 1 2cos
2 1 1
f ( ) 1 CAP 2 ，而
0 .sin 2sin cos tan 2 2 2 2
2 2 2
所以 f ( ) 1 3 2 在定义上单调减. 又 sin CAP , cos CAP .
tan 7 7
2
1 2 7
所以 f ( ) 2 7 QPC 8 2 7 10 ，因此 的周长的取值范围是 , .………12分3 3 3 3 3

第 4页，共 4页2022-2023 学年第二学期六校联合体第二次联合调研
高一数学
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
→ → → →
1．已知AB＝(2，3)，AC＝(－1，－1)，则 2AB－AC＝( )
A．(－5，－7) B．(－5，7) C．(5，7) D．(5，－7)
_ _
2．若 i(z－1)＝1，i 是虚数单位，z是 z的共轭复数，则z＋z＝( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
3．下列说法中正确的是( )
A．若直线 l与平面 α平行，则 l与平面 α内的任意一条直线都没有公共点．
B．若直线 l上有无数个点不在平面 α内，则直线 l与平面 α平行．
C．若直线 l与平面 α平行，则 l与平面 α内的任意一条直线都平行．
D．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行．
4．已知角 α，β满足 tanα＝－2，tan(α＋β)＝1，则 tanβ＝( )
1
A．－ B．1 C．－3 D．3
3
5．已知 m，n，l 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A．m ⊥l，n⊥l，则 m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则 α⊥β
C．m∥α，n∥α，则 m∥n D．α∥γ，β∥γ，则 α∥β
π π
6．已知 sinθ＋sin(θ＋ )＝ 3，则 sin(θ＋ )＝( )
3 6
1 2 3
A． B．1 C． D．
2 2 2
7．如图，小明欲测校内某旗杆高 MN，选择地面 A处和他所在教学楼四楼
C 处为测量观测点(其中 A 处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地
面)．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45 以及
∠MAC＝75 ，从 C 点测得∠MCA＝60 ．已知 C 处距地面 10m，则旗杆
高 MN＝( )
A．12m B．15m C．16m D．18m
(第 7 题图)
→ →
8．在△ABC中，点 P是 AB上一点，点 Q满足CQ＝2QB，AQ与 CP的交点为M．有下
列四个命题：
→ 1→ 1→ → →
甲：CP＝2CA＋2CB 乙：CM＝4MP
→ →
丙：S△AMP：S△ACP＝1：5 丁：3AM＝2MQ
如果只有一个是假命题，则该命题为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选
对得 5分，部分选对得 2 分，不选或有选错的得 0分．
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_
9．已知复数 z，z1，z2，z是 z 的共轭复数，则下列说法正确的是( )
_
A．z·z＝|z|2 B．若|z|＝1，则 z＝±1
C．|z1·z2|＝|z1|·|z2| D．若|z－1|＝1，则|z＋1|的最小值为 1
10．若向量 a＝(1，2)，b＝(λ，1)，则下列说法正确的是( )
1
A．若 a⊥b，则 λ＝－2 B．若 a∥b，则 λ＝2
3
C．当 λ∈(－2，＋∞)时，a，b的夹角为锐角 D．当 λ＝1 时，a在 b上的投影向量为2b
11．已知△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝ 7，D在 AC上，BD为∠ABC的角平分线，E
为 BC中点，下列结论正确的是( )
13
A．△ABC的面积为 3 3 B．AE＝ 2
6 3 AD 3
C．BD＝ 5 D．CD＝2
12．已知正四棱锥 P－ABCD 的所有棱长均为 2 2，E，F 分别是 PC，AB 的中点，M 为棱
PB 上异于 P，B 的一动点，则以下结论正确的是( )
A．直线 EF∥平面 APD
π
B．异面直线 EF、PD 所成角的大小为3
6
C．直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 6
D．存在点 M 使得 PB⊥平面 MEF
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5分，共 20分．请把答案填涂在答题
卡相应位置．
13．sin21°cos81°－sin69°cos9°＝ ▲ ．
→ → → → → →
14．在△ABC中，AB＝1，BC＝ 2，AC＝ 3，则AB ·BC＋BC ·CA＋CA ·AB＝ ▲ ．
15．如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，A1B1 的中点是 P，过直线 A1C 作与平
面 PBC1 平行的截面，则该截面的面积为 ▲ ．
(第 15 题图) (第 16 题图)
16．天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球 O，半径为 R，
两个观察者在地球上 A，B两地同时观察到一颗流星 S，仰角分别是 α和 β(MA，MB表示
1
当地的地平线)，由平面几何相关知识，∠MAB＝∠MBA＝ ∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，
2
πR π π
设 AB弧长为 ，α＝ ，β＝ ，则流星高度为 ▲ ．(流星高度为 SO减去地球半径，
2 12 6
结果用 R表示)
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四、解答题：本大题共 6 个小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本题满分 10 分)
z－3i
已知 z 是复数，z－i 为实数，－2－i为纯虚数(i 为虚数单位)．
(1)求复数 z；
z
(2)复数 z1＝m＋i2023在复平面对应的点在第二象限，求实数 m的取值范围．
18．(本题满分 12 分)
已知向量 a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(2a－b)·(a＋3b)＝－5．
(1)若(a－kb)⊥(ka＋b)，求实数 k的值；
(2)求 a与 2a＋b的夹角．
19．(本题满分 12 分)
π
已知 f(x)＝4cosx·sin(x＋ )―1
6
(1)求 f(x)的周期；
6 π
(2)若 f(α)＝ ，其中 α∈(0， )，求 cos2α．
5 4
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20．(本题满分 12 分)
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
3
(1)若 PC＝ ，求 PA 的长；
2
(2)若∠APB＝120°，求 PA 的长．
21．(本题满分 12 分)
如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，且有 AB＝1，PA＝
2，∠ABC＝60°，E 为 PC 中点．
(1)证明：AC⊥面 BED；
(2)求二面角 E－AB－C 的平面角的正弦值．
22．(本题满分 12 分)
→ →
如图，已知△ABC是边长为 2 的正三角形，点 P在边 BC上，且 3BP＝BC，点 Q为线
段 AP上一点．
→ → 1 →
(1)若AQ＝λAB＋15BC，求实数 λ的值；
→ →
(2)求QA·QC的最小值；
(3)求△QPC周长的取值范围．
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