2023届陕西省商洛市高三三模数学（理）试题（解析版）

2023届陕西省商洛市高三三模
数学（理）试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知两个单位向量，的夹角为150°，则（ ）
A．7 B．3 C． D．1
4．若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（ ）
A． B． C． D．
8．五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周且两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（ ）
A． B． C．25 D．30
11．在四面体中，，，向量与的夹角为，若，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．设满足约束条件则的最小值为_________．
14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．
年龄区间
赋值变量x 1 2 3 4 5
人群数量y 2 3 7 8 a
若由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则______．
16．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为__________.
三、解答题
17．已知正项等比数列的前项和为，且，
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
18．清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加．已知该中学初一．初二、初三3个年级的学生人数之比为4：5： 6，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据．
方式 年级 人数 初一年级 初二年级 初三年级
前往革命烈士纪念馆 2a-1 8 10
线上网络 a b 2
(1)求，的值；
(2)从被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生中任选3人，记选中初一年级学生的人数为，求的分布列与期望．
19．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点．
(1)证明：；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
20．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
21．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．
23．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．
2023届陕西省商洛市高三三模
数学（理）试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法规则求解.
【详解】；
故选：C.
2．已知集合，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.
【详解】由，得，易知集合非空，
则，
解得．
故选：B.
3．已知两个单位向量，的夹角为150°，则（ ）
A．7 B．3 C． D．1
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算律和模的定义求解.
【详解】，
所以．
故选:D.
4．若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．
故选：A.
5．设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点，由对称性求出点，进一步求出的值，再利用定义求解即可.
【详解】设，由对称性可知，，
则，解得，
故点A到抛物线C的焦点的距离为．
故选：B.
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由求得，再使用凑配角由求.
【详解】，解得，
则．
故选：D
7．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的侧面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.
【详解】由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对．
由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第6格时正面朝上的图案是．
故选：C.
8．五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周且两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题计算出4名同学参加公益活动的总情况数，及周六恰有2名同学参与的情况数，即可得答案.
【详解】由题意知，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的总情况数为，4人选择一天的情况数为2，则周六、周日都有同学参加公益活动共有种不同的结果．又周六恰有2位同学参加公益活动共有种不同的结果，故所求的概率为．
故选：A
9．记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由求得，使用整体换元法求得的范围， 根据在上恰有3个零点列出满足的不等式关系求解即可.
【详解】因为的最小正周期为T，所以．
又，所以，
当时，，
由在上恰有3个零点，得，
解得．
故选：A
10．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（ ）
A． B． C．25 D．30
【答案】B
【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值.
【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上，
圆的半径为，
由圆周角的性质可得，，
，
连接，可得（当为与圆的交点时，取等号），
在中，，，，根据余弦定理可知
，所以的最小值为．
故选：B.
11．在四面体中，，，向量与的夹角为，若，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将四面体补形为直三棱柱，与余弦定理可得的长，再由正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接球的半径，即可得到结果.
【详解】
将四面体补成如图所示的直三棱柱，因为向量与的夹角为，所以，则，外接圆的半径，该四面体外接球的半径，所以该四面体外接球的表面积为．
故选:D
12．若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，构造函数，利用求导，讨论得知当时，单调递减；当时，单调递增．故，计算可比较大小,从而可得出结论.
【详解】令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故，
可得，当且仅当时，等号成立，
从而．
因为，所以，故．
故选：A.
二、填空题
13．设满足约束条件则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】画出可行域如图所示，
联立，解得，即，
由图可知当直线经过点时，取得最小值．
故答案为：．
14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．
年龄区间
赋值变量x 1 2 3 4 5
人群数量y 2 3 7 8 a
若由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则______．
【答案】10
【分析】根据回归直线方程过样本中心点求得正确答案.
【详解】由题意可知，，
则，解得．
故答案为：
15．定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．
【答案】1012
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.
【详解】因为是奇函数，且，
所以，
故是周期为4的周期函数．
所以，
令,可得，所以，
因为函数为奇函数且周期为4，所以，
则，
则．
故答案为:1012.
16．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为__________.
【答案】/
【分析】取的中点，连接，先求得直线的斜率，然后利用点差法求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】如图，取的中点，连接，则，
所以，设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为.设，则.
由，得到.，
所以，所以，则.
故答案为：
三、解答题
17．已知正项等比数列的前项和为，且，
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件得到关于公比的方程，求解即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得数列为等差数列，结合等差数列的求和公式即可得到结果.
【详解】（1）设的公比为q，因为，
所以，
则，解得或（舍去）．
（2）由（1）可知，
，
则．
18．清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加．已知该中学初一．初二、初三3个年级的学生人数之比为4：5： 6，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据．
方式 年级 人数 初一年级 初二年级 初三年级
前往革命烈士纪念馆 2a-1 8 10
线上网络 a b 2
(1)求，的值；
(2)从被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生中任选3人，记选中初一年级学生的人数为，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据比例关系得到，解得答案.
（2）X的取值可能为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）由题可知，，解得．
（2）X的取值可能为0，1，2，3，
，
．
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
19．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点．
(1)证明：；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量的性质表示出二面角的余弦值，求得即可.
【详解】（1）证明：过点A作，垂足为N，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，，则，
则．
设平面的法向量为，则令，得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
20．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)定值为
【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出 ；
（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明.
【详解】（1）由题可知， ，解得， ，故椭圆C的方程为；
（2）直线l的方程为，
联立方程组整理得，
则 ，
由题意，必须有 ，即 必须满足 ，
此时，．
，
整理得，
因为l不经过点A，所以，所以，即，
故k为定值，且该定值为；
综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.
【点睛】在计算过程中，是对直线l的k和m的一个约束，因为l必须经过椭圆C内部的点；对的因式分解比较难，不容易看出.
21．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；
（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.
【详解】（1），
因为，所以，则，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）当时，恒成立，即恒成立，
证明过程如下．
今，
①当时，，所以．
②当时，，令，
则，可知在上单调递增．
当时，，所以，即在上单调递增，
又因为，所以，即在上单调递增，
所以成立．
一般情况下探求：当时，，即，
令，
①当时，，所以．
②当时，，令，
则，可知在上单调递增．
又因为，所以存在，使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以只需满足即可.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解.
【详解】（1）由 得 ， 得，
即曲线C的直角坐标方程为，
由， ，得直线l的直角坐标方程为；
（2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆，
因为曲线C与直线l有两个公共点，必有，
解得，即m的取值范围为.
23．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；
（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.
【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．
当时，不等式转化为，解得．
当时，不等式转化为，无解．
综上所述，不等式的解集为．
（2）由，得．
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．

2023届陕西省商洛市高三三模数学（理）试题（解析版）