山东省济南市2023年中考二模数学试题

山东省济南市2023年中考二模数学试题
一、单选题
1．（2023·济南模拟）如图所示三视图的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由已知中的三视图我们可以判断出该几何体是一个三棱柱，
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
2．（2020·包头模拟） 的相反数为 　　
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵ ＝3
∴3的相反数是﹣3
故答案为：A
【分析】先求出 ＝3，再根据相反数的定义进行计算求解即可。
3．（2017七上·武清期末）地球绕太阳转动一天通过的路程约是2640000千米，用科学记数法表示为（　　）
A．2.64×107 B．2.64×106 C．26.4×105 D．264×104
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：2640 000=2.64×106，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4．（2023·济南模拟）加强生活垃圾管理，维护公共环境和节约资源是全社会公共的责任.我市将全面推行生活垃圾强制分类.下列四个垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
5．（2021七下·临沧期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a+1|＜|b+1|
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；实数的运算
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项不符合题意；
B、∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C、∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
D、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴﹣1＜a+1＜0，1＜b+1＜2，
∴|a+1|＜1，|b+1|＞1，
∴|a+1|＜|b+1|，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】由a、b在数轴上的位置可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，然后根据实数的加减法则、实数的乘法法则、绝对值的定义分别判断即可.
6．（2020七下·自贡期末）如图， ∥ ， 为直线 上两点，且 平分 ；若 ，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．36° C．42° D．45°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABE+∠1=180°，又∠1=108°，
∴∠ABE=180°-108°=72°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF =36°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BFE=∠ABF=36°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABE的度数，再由角平分线的定义求出∠ABF，最后根据两直线平行，内错角相等求出结果.
7．（2023·济南模拟）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：.
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．（2023·济南模拟）某大桥采用了低塔斜拉桥桥型（如图1），图2是从图1抽象出的平面图，假设站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是30°，拉索的坡度（或坡比），两拉索底端距离是18米，则立柱的高度是（　　）
A．18米 B．米 C．米 D．9米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】∵拉索的坡度（或坡比），
∴tan∠BDC=
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∠A＝30°，
∴∠ABD＝60° 30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝18米，
∴BC＝BD sin60°＝（米），
故答案为：B．
【分析】先求出∠ABD＝60° 30°＝30°，再结合BD＝AD＝18米，求出BC＝BD sin60°＝（米）即可。
9．（2020八上·重庆月考）如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC＝4， 面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5.
故答案为：D.
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可.
10．（2023·济南模拟）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴令，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴顶点坐标为，
∵，
∴线段上有3个整点，
∵区域内有6个整点，
当时，，
即；
当时，，
即，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的顶点式，可得顶点坐标为，再利用二次函数的性质求解即可。
二、填空题
11．（2023·济南模拟）在实数范围内分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式因式分解即可。
12．（2023·济南模拟）在卡塔尔世界杯上，来自中国制造的主体育场馆“大金碗”——卢塞尔体育场（图①），融合了许多黑科技，球场顶棚采用环保膜材料，既可以为观众提供遮阳，又能够给球场草地带来阳光．膜的材料结构是由许多正六边形交织而成的，正六边形（图②）中，为　 　°．
【答案】120
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形是正六边形，
∴每个内角均相等，
∴，
故答案为：120．
【分析】利用正多边形的内角和公式求解即可。
13．（2021·东营模拟）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是18，x，15，16，13，若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是　 　．
【答案】16
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵18，x，15，16，13这组数据的平均数为16，
∴(18+x+15+16+13)÷5=16，
解得x=18，
∴这组数据按从小到大的顺序排列为：13，15，16，18，18，
∴这组数据的中位数是16．
故答案为：16
【分析】根据平均数的定义求出这组数的平均数，解出x的值，再从小到大排列即可求出中位数。
14．（2023·济南模拟）分式方程的解为x＝　 　．
【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得
2x-2=x+1，
解得x=3．
检验：把x=3代入2x-2=x+1=4≠0．
∴原方程的解为：x=3．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
15．（2020九上·宁德期末）如图，正方形的顶点 分别在 轴和 轴上，边 的中点 在 轴上，若反比例函数 的图象恰好经过 的中点 ，则 的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示
∵反比例函数 的图象过点 ，设点E的坐标为（ ）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC= CD= BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中
∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO= ，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF= = ，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF= ，AB=BC=2 CF= ，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为： .
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（ ），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO= ，CG=FO=OG－OC= ，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
16．（2021·内江模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在 处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点 处，EF为折痕，连接 .若CF＝3，则tan ＝　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝ = .
故答案为： .
【分析】连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10-x，则由矩形的性质以及勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝164-20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+9，由折叠知：∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，推出∠AEF＝90°，由勾股定理可得AF2＝AE2+EF2＝2x2-20x+173，然后结合AF2＝AD2+DF2可得x的值，求出CE、B′C′，然后根据三角函数的概念进行求解.
三、解答题
17．（2023·济南模拟）计算： .
【答案】解：原式
.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂和二次根式的性质化简，再计算即可。
18．（2023·长清模拟）解不等式组：，并写出的所有整数解．
【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为，
则的所有整数解为0，1，2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
19．（2023·长清模拟）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形
．
，
，
，
在与中，
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形性质，结合全等三角形证明即可得证
20．（2021·天桥模拟）某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有　 　人；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
【答案】（1）200
（2）解：选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为 ＝ ．
【知识点】条形统计图；列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完成；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可
21．（2023·济南模拟）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．
（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
【答案】（1）解：作DH⊥AE于H，如图所示：
在Rt△ADH中，∵，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴（2DH）2+DH2＝（）2，
∴DH＝6（米）．
答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；
（2）解：如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
由（1）得AH＝2DH＝12，
在矩形DGCH中，DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，
在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，
∵tan∠BDG＝，
∴，
解得：x≈24，
答：大树的高度约为24米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作DH⊥AE于H，利用勾股定理可得AH2+DH2＝AD2，再结合AH＝2DH，可得（2DH）2+DH2＝（）2，最后求出DH=6即可；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，则DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，再结合tan∠BDG＝， 可得，最后求出x的值即可。
22．（2021九上·德保期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC.
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长.
23．（2023·济南模拟）一文具厂接到生产一批橡皮和水笔的任务，已知该文具厂销售200个橡皮和200个水笔的利润为160元，销售100个橡皮和200个水笔的利润为130元．已知该文具厂每天生产橡皮和水笔共4500个，生产橡皮和水笔每个成本分别为2元，3元，设每天生产橡皮个，该文具厂每天生产成本为元．
（1）求橡皮和水笔的销售单价；
（2）求关于的函数关系式；
（3）若该文具厂每天最多投入成本为10000元，求该文具厂每天获得利润最多是多少元？
【答案】（1）解：设橡皮的销售单价为a元，水笔的销售单价为b元，
根据题意得，解得，
答：橡皮和水笔的销售单价分别为2.3元、3.5元；
（2）解：根据题意可得，每天生产水笔为（4500－x）个，
则该文具厂每天生产成本y＝2x＋（4500－x）×3＝－x＋13500；
答：y关于x的函数关系式为y＝－x＋13500；
（3）解：设每天获得利润为w元，
则有w＝（2.3－2）x＋（4500－x）×（3.5－3）＝－0.2x＋2250，
根据题意得－x＋13500≤10000，解得x≥3500，
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝3500时，w最大＝1550，
答：该文具厂每天获得利润最多是1550元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设橡皮的销售单价为a元，水笔的销售单价为b元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）根据题意直接列出函数解析式y＝2x＋（4500－x）×3＝－x＋13500即可；
（3）设每天获得利润为w元，根据题意列出函数解析式w＝（2.3－2）x＋（4500－x）×（3.5－3）＝－0.2x＋2250， 再利用一次函数的性质求解即可。
24．（2022·济南）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
【答案】（1）解：将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，
∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，
∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数-动态几何问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
②分类讨论，结合平移的性质求解即可。
25．（2021九上·山东月考）在 中， ， ，点 在边 上， ，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 ．连接 ．
（1）如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
（2）当 时，
①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当 ， ， 三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，
， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
即
（2）解：① 仍然成立，理由如下：
如图2，
， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
， ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
即 ；
②四边形 是平行四边形，理由如下：
如图3，过 作 ，连接 ， 交于点 ，
， ，
，
，
，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
，
， ， 三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知 ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据 ， ，得到，结合 是以 为斜边等腰直角三角形，得到，所以AB//EF，得到，再结合余弦的定义可得，最后代入计算即可得到答案；
（2）①由于 ， ， 是以 为斜边等腰直角三角形，可证明再利用相似三角形的性质仍可以得到；②过 作 ，连接 ， 交于点 ，方法同（2），证明推出，再利用等量代换可得，即可得到，所以AF//EC，即可证明四边形 是平行四边形．
26．（2023·济南模拟）如图．已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）连接，交直线于点E，交y轴于点F；
①是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：把代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：过B作轴交射线于D，
∴轴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
设直线解析式为，将代入得：，解得，
∴直线解析式为，
解得或，
∴；
（3）解：①存在点P，使与相似，理由如下：
如图：过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F，
∵轴，
∴，
在中，令得：或，
∴，
设直线解析式为，将代入得：
，解得，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当P坐标是时，与相似；
②由①知，P的坐标为时，直线解析式为，
∴，
∵，
∴，即，
由知直线BC解析式是，
解得，
∴，
∵以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，
∴分两种情况讨论：
（Ⅰ）如图：当时，H点在上，K点在上，
∵H点在抛物线上，
∴H为与抛物线交点，即或，
当时，，
∴，
∴，
∴的中点为，则的中点也为，
∴，
但此时与y轴重合，不符合与y轴平行，
∴不符合题意；
当时，，
∴，
∴
∴HK的中点为，则的中点也为，
∴；
（Ⅱ）当时，此时轴，如图：
在中，令，则，
解得：，
∴或，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
综上所述，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过B作轴交射线于D，先证出，可得，即，再求出，可得，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，最后联立方程组求出点P的坐标即可；
（3）①过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F，先求出直线AP的解析式，再证出是等腰直角三角形，可得，结合，即可得到；
②分类讨论： （Ⅰ）当时，H点在上，K点在上，（Ⅰ）当时，H点在上，K点在上， 再分别画出图象并求解即可。
山东省济南市2023年中考二模数学试题
一、单选题
1．（2023·济南模拟）如图所示三视图的几何体是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·包头模拟） 的相反数为 　　
A． B．3 C． D．
3．（2017七上·武清期末）地球绕太阳转动一天通过的路程约是2640000千米，用科学记数法表示为（　　）
A．2.64×107 B．2.64×106 C．26.4×105 D．264×104
4．（2023·济南模拟）加强生活垃圾管理，维护公共环境和节约资源是全社会公共的责任.我市将全面推行生活垃圾强制分类.下列四个垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021七下·临沧期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a+1|＜|b+1|
6．（2020七下·自贡期末）如图， ∥ ， 为直线 上两点，且 平分 ；若 ，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．36° C．42° D．45°
7．（2023·济南模拟）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·济南模拟）某大桥采用了低塔斜拉桥桥型（如图1），图2是从图1抽象出的平面图，假设站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是30°，拉索的坡度（或坡比），两拉索底端距离是18米，则立柱的高度是（　　）
A．18米 B．米 C．米 D．9米
9．（2020八上·重庆月考）如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC＝4， 面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
10．（2023·济南模拟）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
11．（2023·济南模拟）在实数范围内分解因式：　 　．
12．（2023·济南模拟）在卡塔尔世界杯上，来自中国制造的主体育场馆“大金碗”——卢塞尔体育场（图①），融合了许多黑科技，球场顶棚采用环保膜材料，既可以为观众提供遮阳，又能够给球场草地带来阳光．膜的材料结构是由许多正六边形交织而成的，正六边形（图②）中，为　 　°．
13．（2021·东营模拟）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是18，x，15，16，13，若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是　 　．
14．（2023·济南模拟）分式方程的解为x＝　 　．
15．（2020九上·宁德期末）如图，正方形的顶点 分别在 轴和 轴上，边 的中点 在 轴上，若反比例函数 的图象恰好经过 的中点 ，则 的长为　 　．
16．（2021·内江模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在 处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点 处，EF为折痕，连接 .若CF＝3，则tan ＝　 　.
三、解答题
17．（2023·济南模拟）计算： .
18．（2023·长清模拟）解不等式组：，并写出的所有整数解．
19．（2023·长清模拟）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．
20．（2021·天桥模拟）某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有　 　人；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
21．（2023·济南模拟）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．
（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
22．（2021九上·德保期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC.
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长.
23．（2023·济南模拟）一文具厂接到生产一批橡皮和水笔的任务，已知该文具厂销售200个橡皮和200个水笔的利润为160元，销售100个橡皮和200个水笔的利润为130元．已知该文具厂每天生产橡皮和水笔共4500个，生产橡皮和水笔每个成本分别为2元，3元，设每天生产橡皮个，该文具厂每天生产成本为元．
（1）求橡皮和水笔的销售单价；
（2）求关于的函数关系式；
（3）若该文具厂每天最多投入成本为10000元，求该文具厂每天获得利润最多是多少元？
24．（2022·济南）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
25．（2021九上·山东月考）在 中， ， ，点 在边 上， ，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 ．连接 ．
（1）如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
（2）当 时，
①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当 ， ， 三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
26．（2023·济南模拟）如图．已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）连接，交直线于点E，交y轴于点F；
①是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由已知中的三视图我们可以判断出该几何体是一个三棱柱，
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
2．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵ ＝3
∴3的相反数是﹣3
故答案为：A
【分析】先求出 ＝3，再根据相反数的定义进行计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：2640 000=2.64×106，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；实数的运算
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项不符合题意；
B、∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C、∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
D、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴﹣1＜a+1＜0，1＜b+1＜2，
∴|a+1|＜1，|b+1|＞1，
∴|a+1|＜|b+1|，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】由a、b在数轴上的位置可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，然后根据实数的加减法则、实数的乘法法则、绝对值的定义分别判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABE+∠1=180°，又∠1=108°，
∴∠ABE=180°-108°=72°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF =36°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BFE=∠ABF=36°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABE的度数，再由角平分线的定义求出∠ABF，最后根据两直线平行，内错角相等求出结果.
7．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：.
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】∵拉索的坡度（或坡比），
∴tan∠BDC=
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∠A＝30°，
∴∠ABD＝60° 30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝18米，
∴BC＝BD sin60°＝（米），
故答案为：B．
【分析】先求出∠ABD＝60° 30°＝30°，再结合BD＝AD＝18米，求出BC＝BD sin60°＝（米）即可。
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5.
故答案为：D.
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴令，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴顶点坐标为，
∵，
∴线段上有3个整点，
∵区域内有6个整点，
当时，，
即；
当时，，
即，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的顶点式，可得顶点坐标为，再利用二次函数的性质求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式因式分解即可。
12．【答案】120
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形是正六边形，
∴每个内角均相等，
∴，
故答案为：120．
【分析】利用正多边形的内角和公式求解即可。
13．【答案】16
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵18，x，15，16，13这组数据的平均数为16，
∴(18+x+15+16+13)÷5=16，
解得x=18，
∴这组数据按从小到大的顺序排列为：13，15，16，18，18，
∴这组数据的中位数是16．
故答案为：16
【分析】根据平均数的定义求出这组数的平均数，解出x的值，再从小到大排列即可求出中位数。
14．【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得
2x-2=x+1，
解得x=3．
检验：把x=3代入2x-2=x+1=4≠0．
∴原方程的解为：x=3．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示
∵反比例函数 的图象过点 ，设点E的坐标为（ ）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC= CD= BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中
∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO= ，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF= = ，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF= ，AB=BC=2 CF= ，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为： .
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（ ），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO= ，CG=FO=OG－OC= ，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝ = .
故答案为： .
【分析】连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10-x，则由矩形的性质以及勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝164-20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+9，由折叠知：∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，推出∠AEF＝90°，由勾股定理可得AF2＝AE2+EF2＝2x2-20x+173，然后结合AF2＝AD2+DF2可得x的值，求出CE、B′C′，然后根据三角函数的概念进行求解.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂和二次根式的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为，
则的所有整数解为0，1，2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
19．【答案】证明：四边形是平行四边形
．
，
，
，
在与中，
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形性质，结合全等三角形证明即可得证
20．【答案】（1）200
（2）解：选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为 ＝ ．
【知识点】条形统计图；列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完成；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可
21．【答案】（1）解：作DH⊥AE于H，如图所示：
在Rt△ADH中，∵，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴（2DH）2+DH2＝（）2，
∴DH＝6（米）．
答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；
（2）解：如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
由（1）得AH＝2DH＝12，
在矩形DGCH中，DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，
在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，
∵tan∠BDG＝，
∴，
解得：x≈24，
答：大树的高度约为24米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作DH⊥AE于H，利用勾股定理可得AH2+DH2＝AD2，再结合AH＝2DH，可得（2DH）2+DH2＝（）2，最后求出DH=6即可；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，则DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，再结合tan∠BDG＝， 可得，最后求出x的值即可。
22．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长.
23．【答案】（1）解：设橡皮的销售单价为a元，水笔的销售单价为b元，
根据题意得，解得，
答：橡皮和水笔的销售单价分别为2.3元、3.5元；
（2）解：根据题意可得，每天生产水笔为（4500－x）个，
则该文具厂每天生产成本y＝2x＋（4500－x）×3＝－x＋13500；
答：y关于x的函数关系式为y＝－x＋13500；
（3）解：设每天获得利润为w元，
则有w＝（2.3－2）x＋（4500－x）×（3.5－3）＝－0.2x＋2250，
根据题意得－x＋13500≤10000，解得x≥3500，
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝3500时，w最大＝1550，
答：该文具厂每天获得利润最多是1550元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设橡皮的销售单价为a元，水笔的销售单价为b元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）根据题意直接列出函数解析式y＝2x＋（4500－x）×3＝－x＋13500即可；
（3）设每天获得利润为w元，根据题意列出函数解析式w＝（2.3－2）x＋（4500－x）×（3.5－3）＝－0.2x＋2250， 再利用一次函数的性质求解即可。
24．【答案】（1）解：将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，
∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，
∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数-动态几何问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
②分类讨论，结合平移的性质求解即可。
25．【答案】（1）解：如图1，
， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
即
（2）解：① 仍然成立，理由如下：
如图2，
， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
， ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
即 ；
②四边形 是平行四边形，理由如下：
如图3，过 作 ，连接 ， 交于点 ，
， ，
，
，
，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
，
， ， 三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知 ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据 ， ，得到，结合 是以 为斜边等腰直角三角形，得到，所以AB//EF，得到，再结合余弦的定义可得，最后代入计算即可得到答案；
（2）①由于 ， ， 是以 为斜边等腰直角三角形，可证明再利用相似三角形的性质仍可以得到；②过 作 ，连接 ， 交于点 ，方法同（2），证明推出，再利用等量代换可得，即可得到，所以AF//EC，即可证明四边形 是平行四边形．
26．【答案】（1）解：把代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：过B作轴交射线于D，
∴轴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
设直线解析式为，将代入得：，解得，
∴直线解析式为，
解得或，
∴；
（3）解：①存在点P，使与相似，理由如下：
如图：过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F，
∵轴，
∴，
在中，令得：或，
∴，
设直线解析式为，将代入得：
，解得，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当P坐标是时，与相似；
②由①知，P的坐标为时，直线解析式为，
∴，
∵，
∴，即，
由知直线BC解析式是，
解得，
∴，
∵以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，
∴分两种情况讨论：
（Ⅰ）如图：当时，H点在上，K点在上，
∵H点在抛物线上，
∴H为与抛物线交点，即或，
当时，，
∴，
∴，
∴的中点为，则的中点也为，
∴，
但此时与y轴重合，不符合与y轴平行，
∴不符合题意；
当时，，
∴，
∴
∴HK的中点为，则的中点也为，
∴；
（Ⅱ）当时，此时轴，如图：
在中，令，则，
解得：，
∴或，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
综上所述，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过B作轴交射线于D，先证出，可得，即，再求出，可得，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，最后联立方程组求出点P的坐标即可；
（3）①过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F，先求出直线AP的解析式，再证出是等腰直角三角形，可得，结合，即可得到；
②分类讨论： （Ⅰ）当时，H点在上，K点在上，（Ⅰ）当时，H点在上，K点在上， 再分别画出图象并求解即可。

山东省济南市2023年中考二模数学试题