浙江省杭州市西湖区浙教版九年级中考数学第二次模拟练习卷（含解析）

浙江省杭州市西湖区九年级中考数学第二次模拟练习卷
一、单选题单选题（每题4分，共40分）
1．某天中午，大伊山山顶的气温由早晨的零下1℃上升了7℃，则这天中午的气温是（　　）
A．零上6℃ B．零下6℃ C．零下8℃ D．零上8℃
2．若每人每天浪费水0.32升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若直线a与b互相垂直，记作a∥b
C．内错角相等
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．t1＞t2
6．若，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．将方程写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图像过点，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（ ）.
A． B． C． D．
9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点B的坐标为，第次将菱形绕着点逆时针旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形（即），第次将菱形绕着点逆时针旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形（即），第次将菱形绕着点逆时针旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形（即）…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共30分）
11．计算：________.
12．在永辉超市的一次抽奖活动中，在一个不透明的纸质箱中，规定抽中红球为一等奖．装有黑球25个，白球15个，红球6个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出个球，要使中一等奖的概率为，需要往这个口袋再放入同种红球__________个．
13．已知与轴交于点、，则分解因式____________.
14．某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是______.
15．小丽同学想利用树影测量校园内的树高，她在某一时刻测得小树高为1.5m时，其影长为1.2 m，此时她测量教学楼旁的一棵大树影长为5m，那么这棵大树高约_____m．
16．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，E为⊙O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知，则tan∠ACE＝_____．
三、解答题（共80分）
17．计算：
(1)； (2)．
18．甲、乙两校各有5名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如下表：
甲校选手得分 97 91 80 91 81
乙校选手得分 76 92 94 86 92
(1)对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价；
(2)如果各校从他们参赛的5名学生中派出前3名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．△ABC的顶点坐标分别为，，．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点A2，则点A2的坐标为 ；
(3)△ABC的面积为 ；
21．如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上确定一点M，使得是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
23．在小学，我们已经认识了正方形，知道它的对边平行，四条边相等，四个角都是直角，我们可以利用这些性质解决几何问题．如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)连接（如图2），若，，，请利用图形验证勾股定理．
24．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
参考答案
1．A
【分析】根据题意列出运算式子，再计算有理数的加法即可得．
【详解】由题意得：，
则这天中午的气温是零上，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数加法的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．
2．C
【详解】用0.32乘以100万，再根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于32万有6位，所以可以确定n=6-1=5．
解答：解：0.32×100万="320" 000=3.2×105．
故答案为C．
3．D
【分析】根据平行线的性质、垂直以及对顶角的知识判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A是假命题；
B、若直线a与b互相垂直，记作a⊥b，故B是假命题；
C、两直线平行，内错角相等，故C是假命题；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D是真命题．
故选D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、垂直以及对顶角的知识．
4．C
【分析】由题意可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高应在三角形内部，按照三角形高的定义和作法进行判断即可．
【详解】解：三角形最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点睛】此题考查的是三角形高线的画法，无论什么形状的三角形，其最长边上的高都在三角形的内部．
5．A
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．
【详解】解∶∵，
，
∵，
∴
故选∶A．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确进行分式的加减运算法则是解题关键．
6．D
【分析】因为，不妨取，分别计算四个选项，即可得到结论．
【详解】解：因为，不妨取．
A、，．∵，∴，原说法不正确，本选项不符合题意；
B、，原说法不正确，本选项不符合题意；
C、，原说法不正确，本选项不符合题意；
D、，正确，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是取满足条件的特殊值．
7．D
【分析】把y看作已知数求出x即可．
【详解】解：，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
8．C
【分析】设，根据题意确定h和k，再将点代入解析式求出a，进而得出函数解析式．
【详解】解：设，
∵图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，
∴，
∵图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，
∴，
，
代入点，得，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的图像与性质和待定系数法求函数解析式，掌握以上知识点是做出本题的关键．
9．A
【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长y尺，竿长x尺，
根据题意得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．A
【分析】由题意得的坐标为，同理的坐标为，即，的坐标为，即，的坐标为，即，，再由，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，，
第次将菱形绕着点逆时针旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形（即），
∴，，
∴，
∴在中，
，
，
∴的坐标为，
按同样的方法可得：
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
，
∵，
∴点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转以及规律型，勾股定理及三角函数等知识．结合图形变化，找到点坐标变化的规律是解题的关键．
11．4
【分析】根据有理数的乘方运算法则进行计算即可得解.
【详解】，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟练掌握乘方的运算法则是解决本题的关键.
12．4
【分析】利用红球的概率公式列出方程求解即可．
【详解】解：设需要往这个口袋再放入同种红球个．
根据题意得：，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．
【分析】已知抛物线与轴的两交点坐标，可知抛物线的交点式，就可以将一般式的表达式转化为交点式的表达式．
【详解】∵抛物线与轴的交点为，，
∴抛物线的解析式用交点式表示为，
即：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的一般式与交点式的关系，利用这一特点可将多项式因式分解．
14．20%
【分析】根据增长率问题公式：变化前的量×变化后的量，列方程求解即可.
【详解】设每次降价百分率为x，由题意得，解得x=0.2，故百分率为20%.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟记增长率问题方程的形式是关键.
15．6.25
【详解】试题分析：设大树的高度约为xm，
由题意得，，
解得x=6.25，
即这棵大树高约6.25m．
故答案为6.25．
考点：相似三角形的应用
16．
【分析】解直角三角形得到，根据相似三角形的性质得，设BD=x，AE=2x，由圆周角定理得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到AE=2，BE=6，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：连接AE，
∵tan∠BAC＝，
∴设AC＝2m，BC＝m，
∴AB＝m＝2，
∴m＝2，
∴AC＝4，BC＝2，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴tan∠BEC＝，
∵DE＝5，
同理求得CE＝，CE＝2，
∵∠CED+∠EDC＝∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠EDC＝∠ABC，
∵∠EDC+∠BDC＝∠ABC+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝∠BDC，
∵∠DBC＝∠EAC，
∴△AEC∽△BDC，
∴＝2，
∴设BD＝x，AE＝2x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴（2x）2+（5+x）2＝（2）2，
∴x＝1（负值舍去），
∴AE＝2，BE＝6，
∴tan∠ACE＝tan∠ABE＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
17．(1)7
(2)
【分析】（1）先去括号，再进行有理数的加减混合运算，即可得出结果；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减法，即可得出结果．
(1)
解：原式=
；
(2)
原式=
=
=
=．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．(1)甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好
(2)甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些
【分析】（1）计算甲、乙两校参赛学生成绩的平均分，众数，中位数，方差，再进行分析即可；
（2）计算各校前3名的平均分，比较即可．
(1)
解：由表中数据可知，甲校的平均分是=88（分），
众数是91，
中位数是91，
方差是×[（88-97）2+（88-91）2+（88-80）2+（88-91）2+（88-81）2]=42.4；
乙校的平均分是=88（分），
众数是92，
中位数是92，
方差是×[（88-76）2+（88-92）2+（88-94）2+（88-86）2+（88-92）2]=43.2．
甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好；
(2)
甲校派出选手的成绩为91、91、97，平均分是，
乙校派出选手的成绩为92、92、94，平均分是，
甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些．
【点睛】本题考查了方差、众数、中位数以及平均数，掌握方差、众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
19．AE的长为2
【分析】利用△ABE∽△CDE即可解答．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠D，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠D＝∠CBD，
∴CD＝BC＝8，
∵∠ABE＝∠D，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即 ，
∴，
解得：AE＝2，
答：AE的长为2．
【点睛】此题考查相似三角形的性质及判定，以及平行线的性质，角平分线的性质，熟记相似三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
20．(1)作图见解析；
(2)（-4，0）；
(3)8；
(4)
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点A2，进而可得点A2的坐标；
（3）根据割补法即可求出△ABC的面积；
（4）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由AB为定值可得当的和最小时，△ABP周长的最小，然后根据勾股定理即可解决问题．
（1）
解：由题意知，的点坐标分别为，在坐标系中描点，然后依次连接，如图，△A1B1C1即为所求；
（2）
如上图，点A2即为所求；点A2的坐标为（﹣4，0）；
故答案为：（﹣4，0）；
（3）
如上图所示，作出矩形ADEF，
则，
即，
故答案为：8；
（4）
解：由题意知，，
，且AB为定值，
∴当的和最小时，△ABP周长的最小，
如上图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则的最小值为，
由图可得，
△ABP周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）已知两对应边相等，利用公共角得对应角相等，进而用边角边证三角形相等；
（2）已证得，并利用三角形的外角性质，证明即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
（2）解：是三角形的外角
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，牢固掌握其判定条件及性质应用是解题的关键．
22．(1)
(2)S有最大值，此时点的坐标为；
(3)点的坐标为或或或，过程见解析．
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，，
，解得．
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过点作轴的垂线，交于点．
设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值，
此时，
此时点的坐标为；
（3）解：在轴上存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
③当为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)验证见解析
【分析】（1）先证明，可得，，可得，再证明，从而可得结论；
（2）依次证明，，，从而可得结论；
（3）证明，可得，再整理即可．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，，，，正方形，
∴，，，
，
∴，，
∵，，
∴，
整理得：．
【点睛】本题考查的同角或等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，利用等积变形验证勾股定理，证明得到是解本题的关键．
24．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由．可得，，即可求解；
（2）①证明，得到，可得，即可求解；②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
【详解】（1）解：．
，，
解得，，
点的坐标为；
（2）①与关于所在直线对称，
，，，
如图，连接，
，
，，
设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
∴；
②取的中点，连接，．
，点是的中点，
．
，
，
，
由中点坐标可知：点的坐标为，
，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值，
，，
，
的最大值．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形是平行四边形．

浙江省杭州市西湖区浙教版九年级中考数学第二次模拟练习卷（含解析）