2023年广东省东莞市南城重点中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市南城重点中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图，直线，直线分别交、于、两点，平分，如果，那么的度数是( )
A. B. C. D.
3. 一年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为米其中，数据用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
4. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，点是内一点，，平分，是边的中点，延长线段交边于点，若，，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
7. 某修路队计划天内铺设铁路，由于采用新技术，每天多铺设铁路，因此提前天完成计划，根据题意，可列方程为( )
A. B. C. D.
8. 如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；
过点画射线；
根据以上操作，可以判定≌，其判定的依据是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在菱形中，，，，垂足为，与交于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，中，，，，点、分别是边、上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．
移植总数
成活数
成活的频率
则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为______．
13. 某地年月份接种新冠病毒疫苗的有万人次，月份接种新冠病毒疫苗的有万人次，从月份到月份，该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率______．
14. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______．
15. 如图，在正六边形中，分别以、为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
先化简：，然后在内找一个你喜欢的整数代入求值．
18. 本小题分
有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长．
19. 本小题分
如图，在 中，，，垂足分别为，，且．
求证： 是菱形；
若，，求 的面积．
20. 本小题分
A、两所学校的学生都参加了某次体育测试，成绩均为分，且为整数乐乐分别从这两所学校各随机抽取一部分学生的测试成绩，共份，并绘制了如下尚不完整的统计图．
这份测试成绩的中位数是 分， ；
在扇形统计图中，成绩为分所在扇形的圆心角的度数为 ；补全条形统计图；
若校被抽到测试成绩的学生人数是校总学生人数的，请你估计校成绩为分的学生大约有多少名．
21. 本小题分
小明为了测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡向上行走，到达坡顶处．已知斜坡的坡角为以下计算结果精确到
求小明此时与地面的垂直距离的值；
小明的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，求楼房的高度．
22. 本小题分
如图，在中，为直径，为弦，为切线，为切点，，垂足为，交于点，连接．
试说明：；
若，，求的长．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点点为抛物线对称轴上一点．
若点在抛物线上，则代数式的值是______；
连接、，当时，求点的坐标；
以为边在的下方作等边三角形，当点从点运动到点的过程中，求出点经过路径的长度是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
2.【答案】
【解析】解：，
．
平分，
，
．
．
故选：．
根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到，再利用角平分线的性质推出，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”就可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的基本图形，从而利用性质和已知条件计算．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：在双曲线上，
，
A、，故此点一定在该双曲线上；
B、，故此点一定不在该双曲线上；
C、，故此点一定不在该双曲线上；
D、，故此点一定不在该双曲线上；
故选：．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即进行分析即可．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是反比例函数经过的点横纵坐标的积是定值．
5.【答案】
【解析】解：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
≌
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
将原抛物线绕顶点旋转后，得：．
即：．
故选：．
先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．
此题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，得．
故选：．
设原计划每天修建道路，则实际用了天，每天修建道路为，根据每天多铺设铁路，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由作图得，，
则根据“”可判断≌．
故选：．
先利用作法得到，，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．
9.【答案】
【解析】解：设与相较于，
四边形是菱形，，，，
，，，
由勾股定理得到：，
又，
．
，
，
，，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
故选：．
根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出的长度，再由勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出的长，根据三角函数的定义可求出结论．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形面积的计算；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：作关于的对称点，连接，交于，过作于，交于，则，此时的值最小，就是的长；
，中，，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，即
，
即的最小值为是；
故选：．
如图，作关于的对称点，连接，交于，过作于，交于，则，此时的值最小，就是的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
本题考查轴对称最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
11.【答案】且
【解析】解：由题意得：，且，
解得：且．
故答案为：且．
根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】
【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼苗可成活的概率可估计为，
故答案为：．
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：设该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为．
故答案为：．
设该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为，利用月份接种新冠病毒疫苗的人次数月份接种新冠病毒疫苗的人次数平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点为函数与函数的图象的交点，
方程组的解为．
故答案为．
利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15.【答案】
【解析】解：设正六边形的边长为，
正六边形的内角为，
阴影部分的面积为，
，
解得，
则正六边形的边长为，
连接，过作于，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，由扇形面积公式可求得正六边形的边长，过作于，解即可求得，进而得到．
本题考查了正多边形和圆，扇形面积的计算，本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．
16.【答案】解：
．
【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：原式
，
且，
取，
则原式．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：与关于成轴对称，
，，，
在中，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，即．
【解析】点拨：
根据折叠的性质可得，，，利用勾股定理列式求出，从而求出，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在与中，
≌，
，
四边形是菱形．
连接交于．
四边形是菱形，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题；
连接交于，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】
【解析】解：由题意得，把这些成绩按大小排列后，第，位数都是分，故中位数是，
人；
故答案为：；；
校成绩为分的人数为：，
补全条形统计图如图所示；
成绩为分所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
由题意可得名，
名．
答：校成绩为分的学生大约有名．
根据中位数的定义计算即可；
根据表格数据补全统计图，成绩为分所在扇形的圆心角的度数为；
先算出全校总人数名，再计算校成绩为分的学生数．
本题考查了条形统计图，掌握条形统计图的相关知识是关键．
21.【答案】解：在中，
，，
，
；
答：小明与地面的垂直距离的值是；
在中，，
，
由知，，
．
答：楼房的高度是．
【解析】利用在中，，，得出求得答案即可；
由图可知：，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得即可．
本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角和坡角的问题，解题的关键是构造直角三角形．
22.【答案】证明：为的切线，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
；
解：设的半径为，
由圆周角定理得：，
，
设，则，
，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
．
【解析】根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据同角的余角相等证明；
根据正弦的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：将点的坐标代入得：，
则，
故答案为；
连接，当时，则，即点在的中垂线上，
对于，令，则，令，解得或，
故点、、的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，点，
则，故直线与轴负半轴的夹角为，设线段的中点为，则点，
，
则直线与轴的夹角为，故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
故直线的表达式为，
当时，，故点；
如图，当点在时，等边三角形为，当点在点时，等边三角形为，连接，
则，，
，，
，
，
≌，
，
由、的坐标知，，而，
则，
即点经过路径的长度是．
将点的坐标代入得：，即可求解；
连接，当时，则，即点在的中垂线上，进而求解；
证明≌，则，则，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等边三角形的性质、三角形全等等，综合性强，难度较大．
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