平面向量基本定理专练（基础级）-2023届高三数学二轮复习（含解析）

平面向量基本定理专练（基础级）
一、单选题
1．在中，为边上的中线，E为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则
A． B．
C． D．
5．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，直线与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知、、三点共线，且对任一点，有，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中错误的是（ ）
A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
B．非零向量和满足，则与的夹角为
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
10．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
B．已知点，，则方向上的单位向量为
C．若，则存在唯一的实数，使得
D．若，，则的取值范围
11．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
三、填空题
13．如图，、分别是和的中点，已知，，则向量________．（用表示向量）．
14．如图，在平行四边形中，设，，为边的中点，则_______（用与表示)
15．在中，为的中点，为边上的点，且，则___________
16．在中，点D在边BC上，且，若，则___________.
参考答案：
1．B
【解析】由D为中点，根据向量的运算法则，
可得，
故选：B.
2．B
【解析】
因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
3．A
【解析】连结DE，
由题意可知，，
所以，则，
所以，所以，，
则，
故，
又，所以，，则，
故选：A
4．C
【解析】，故选C.
5．A
【解析】由得，则，故，即.
故选：A
6．B
【解析】如下图所示：
，，
则.
故选：B.
7．D
【解析】
因为，所以
设
所以，
由、、共线，所以
，．
故选：D ．
8．C
【解析】设，则，
又因为，所以，，解得.
故选：C.
9．BD
【解析】A选项：由，，，则与共线，不能作为平面向量的基底，A选项正确；
B选项：由，得，即，所以，所以，所以与的夹角为，B选项错误；
C选项：，则或，则在方向上的投影向量的模为，C选项正确；
D选项：由，，则，若与的夹角为锐角，则且与不能同向，则且，D选项错误；
故选：BD.
10．AC
【解析】对A，，故和平行，故不是基底，A错误；
对B，由单位向量，故B正确；
对C，若，，则不成立，故C错误；
对D， 当方向相反时，
当方向相同时，故D正确.
故选：AC
11．BD
【解析】根据，
选项A：，，，，则，，无解，故选项A不能；
选项B：，，，，则，，解得，，，故选项B能．
选项C：，，，，则，，无解，故选项C不能．
选项D：，，，，则，，解得，故选项D能．
故选：BD
12．BC
【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.
对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
故选:BC.
13．
【解析】因为，.
又、分别是和的中点，所以，，
所以，.
故答案为：.
14．
【解析】.
故答案为：
15．
【解析】如图，可知
.
故答案为：
16．2
【解析】由，得，
则在中，，
因，故 ，因此.
故答案为：2.平面向量基本定理专练（基础级）
一、单选题
1．在中，为边上的中线，E为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则
A． B．
C． D．
5．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，直线与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知、、三点共线，且对任一点，有，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中错误的是（ ）
A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
B．非零向量和满足，则与的夹角为
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
10．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
B．已知点，，则方向上的单位向量为
C．若，则存在唯一的实数，使得
D．若，，则的取值范围
11．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
三、填空题
13．如图，、分别是和的中点，已知，，则向量________．（用表示向量）．
14．如图，在平行四边形中，设，，为边的中点，则_______（用与表示)
15．在中，为的中点，为边上的点，且，则___________
16．在中，点D在边BC上，且，若，则___________.

平面向量基本定理专练（基础级）-2023届高三数学二轮复习（含解析）