2023年福建省九年级数学中考模拟试题分项选编：轴对称（含解析）

2023年福建省九年级数学中考模拟试题分项选编：轴对称
一、单选题
1．（2023·福建三明·统考模拟预测）以下是几所知名大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·福建·模拟预测）如下是4个古希腊字母的大小写，其中大写与小写都是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·福建三明·校考一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考二模）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛．下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
6．（2023·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图，在中，D为上一点，把沿折叠，使点C落在上的点E处，则是的（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．对角线
8．（2023·福建·模拟预测）如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若，的周长为12，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考一模）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
10．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ）
A． B． C．或 D．无法判断
二、填空题
11．（2023·福建三明·统考一模）在“等边三角形、长方形、正方形、圆”这四个图形中，对称轴条数最多的是___________．
12．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图，在正五边形中，于点D，连接，则的度数为____________．
13．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，以为腰作等腰，若该等腰三角形的对称轴垂直于x轴，则点C的坐标为__________．
14．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
15．（2023·福建宁德·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
三、解答题
16．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）如图，中，，点O为边中点，且，．
(1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的面积．
17．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图，是以为底的等腰三角形，是以为底的等腰三角形，已知，，，求的度数．
18．（2023·福建三明·校考一模）如图，等腰三角形中，．
(1)在线段上求作点D，使得点D到和的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，若，求的度数．
19．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF．
20．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAE是△ABC的一个外角．
（1）用尺规作图方法，按要求作图：（保留作图痕迹，不写作法和证明）
①作△ABC的高AD；
②作∠CAE的平分线AM；
（2）判断（1）中的AM与BC的位置关系，并证明你的结论．
参考答案：
1．C
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．D
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，不符合题意，
C不是轴对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
4．C
【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
C、是轴对称图形，此项符合题意
D、不是轴对称图形，此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
5．A
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
6．C
【分析】作E关于直线的对称点，连接，的长度是绳子最短的长度．所经过的点C就是要选择的木杆．
【详解】如图，作E关于直线AG的对称点，连接，交于点C，连接，则点C所在的木杆c应优先选择．
∵点E与点关于对称，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知此时的值最小．
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短问题，通过作轴对称构造两点之间线段最短是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据题意得到和关于直线对称，从而得到，即可得到是的高线．
【详解】解：如图，∵沿折叠，点C落在上的点E处，
∴和关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是的高线．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称的性质“成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分”，熟知轴对称的性质是解题关键．
8．D
【分析】根据线段中点的定义可得，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为12，可得，从而求出的周长，即可解答．
【详解】∵点D是AC的中点，
∴，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
10．B
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为，只能为，然后即可求得三角形的周长．
【详解】当腰长为时，由于，所以此时三角形不存在；
当腰长为时，，所以此三角形满足题意，此时三角形的周长为：．
故答案为B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，注意三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
11．圆
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：等边三角形有三条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，
所以对称轴条数最多的图形是圆．
故答案为：圆．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．/18度
【分析】根据正五边形得到 ，，结合四边形内角和及三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴ ，，
∴，
∵于点D，
∴，
∴
故答案为：；
【点睛】本题考查正多边形的性质及三角形内角和定理与四边形内角和定理，解题的关键是求出及．
13．或
【分析】分当为底边时，当为底时，两种情况证明或于x轴平行，进而根据三线合一定理求出答案即可．
【详解】解：如图所示，当为底边时，过点B作，
∵等腰的对称轴垂直于x轴，
∴轴，
∴轴，
∵点A，B的坐标分别为和，
∴，
∴点C的坐标为；
同理当为底时，点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三线合一定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵，，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
15．
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
16．(1)见详解
(2)
【分析】（1）在的延长线上截取，作的垂直平分线交于点D即可；
（2）如图，连接，，利用可计算出，则，再利用三角形面积公式可计算出，然后利用点O为边中点得到即可．
【详解】（1）解：如图所示：点D为在上一点，使得
（2）解：如图，连接，
∵
∴
即，则
∴
∴
∵点O为边中点
∴
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的面积．
17．
【分析】根据，，可得如图所示图形，结合三角形内角和定理及等腰三角形性质，即可得到答案；
【详解】解：∵，，，可得如图所示图形，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
【点睛】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，解题的关键是根据题意拼组出图形．
18．(1)图见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点的长度为半径画弧，交于一点，连接此点与点，交于点；根据全等三角形的判定与性质，即可证明点D到两边的距离相等；
（2）根据等边对等角，得出，，再根据三角形外角的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出， 进而得出， 再根据等量代换，得出，设，则，进而得出，再根据三角形的内角和定理，得出，解出即可得出答案．
【详解】（1）解：点即为所求，
证明：过点作于点，与点，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线、全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形外角的性质、三角形内角和定理、解一元一次方程，解本题的关键在正确得出点．
19．见解析
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由垂线的性质可证得，由AAS证明△BDE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【详解】证明：，
，
DE⊥AB，DF⊥AC，
，
在与中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用证明三角形全等的方法是解决问题的关键．
20．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析．
【分析】（1）①根据过直线外一点做已知直线垂线的方法作高；②根据角平分线的作法作的平分线；
（2）根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得，然后可得的度数，再根据同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得结论．
【详解】解：（1）如图：
①为所作的的高；
②射线为所作的的平分线．
（2）．
证明如下：
，，
．
是的平分线，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，以及平行线的判定，关键是掌握角平分线和过直线外一点做已知直线垂线的作图方法．

2023年福建省九年级数学中考模拟试题分项选编：轴对称（含解析）