浙教版2023年八年级下册期末模拟卷（含解析）

浙教版2023年八年级下册期末模拟卷
满分120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为一次函数图像上的动点，以OB为边作正方形OBCD，当AB最小时，点D恰好落在反比例函数的图像上，则（ ）
A．-9 B．-12 C．-16 D．-25
2．如图，菱形与菱形的顶点A，C重合，，，若菱形的面积为，则菱形的面积为（　　）
A．4 B． C． D．
3．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90°
C．四边形中有一个内角大于90° D．四边形中每一个内角都大于90°
4．在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（ ）
A．-7 B．-1 C．1 D．7
5．有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲、乙两组数据的方差分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．2＜
6．把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（　　）
A．750cm3 B．1536cm3 C．2000cm3 D．2304cm3
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
8．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BFDE且交AG于点F，若AB = 4EF，则S正方形ABCD的值为（ ）
A．9:16 B．17:32 C．17:36 D．18:35
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知a，b，c为三角形的三边长，a，b满足，若该三角形为直角三角形，则c的值为________．
12．如图，直线与反比例函数的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作轴交反比例函的图象于点E，连结，点B为y轴上一点，满足，且恰好平行于x轴．若，则k的值为________．
13．如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处．P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H．若，则______．
14．已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．
15．在平面直角坐标系xOy中，若点B与点关于点O中心对称，则点B的坐标为______．
16．九年级一班学生中，13岁的有5人，14岁的有30人，15岁的有5人，他们平均年龄是_______岁．
17．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另外一个根是______．
18．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ．
三、解答题(共66分)
19．在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象都经过点．
(1)若，求的值．
(2)若点也在反比例函数的图象上．
①求，的函数表达式．
②若，求x的取值范围．
20．计算
(1)2﹣+3 (2)
21．如图，在平行四边形中，分别平分和，交边于点E，F，线段相交于点M．
(1)求证：；
(2)若．则　 　．
22．某校举办了一次汉字听写竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100； 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b 116 90%
(1)以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分
(2)小亮同学说：“这次竞赛我得了69分，在我们小组中属中游偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
(3)计算乙组成绩的优秀率，如果你是该校汉字听写竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加决赛，你会选择哪一组？并说明理由．
23．如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（）的图象上，对角线轴，且于点P，已知点B的横坐标为5．
(1)当时；
①若点P的纵坐标为4，求直线的函数表达式；
②若点P是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
24．某商家购进一批产品，成本为元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元．
(1)求关于的函数关系式．
(2)当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？
25．（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
26．如图，中，，于点O，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．
①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长；
②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）．
浙教版2023年八年级下册期末模拟卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为一次函数图像上的动点，以OB为边作正方形OBCD，当AB最小时，点D恰好落在反比例函数的图像上，则（ ）
A．-9 B．-12 C．-16 D．-25
【答案】C
【分析】根据垂线段最短可得，当AB垂直直线时AB最短，此时△AOB是等腰直角三角形，易求OB=，过点D作DE⊥x轴于点E，知△DEO为等腰直角三角形，求出DE，OE的长即可得到结论．
【详解】解：根据垂线段最短可得，当AB垂直直线时AB最短，
∵∠AOB=45°
∴∠BAO=45°
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（8，0）
∴OA=8
∴
∵四边形OBCD是正方形，
∴
∴
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴
∴△DEO为等腰直角三角形，
∴
∵点D在第二象限，
∴D（-4，4）
又点D在反比例函数的图像上
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径问题、待定系数法求函数解析式、正方形的性质等知识，解答此题的关键是正确求出点D的坐标．
2．如图，菱形与菱形的顶点A，C重合，，，若菱形的面积为，则菱形的面积为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，结合，根据证明，从而得出，即可得出，根据证明，同理证明得出，从而证明，根据，即可求出结果．
【详解】解：连接，，交于点O，延长交于点G，如图所示：
∵四边形与四边形为菱形，
∴，，，
，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形性质，是解题的关键．
3．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90°
C．四边形中有一个内角大于90° D．四边形中每一个内角都大于90°
【答案】D
【分析】在四边形中，至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设．
【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于”时，等于应先假设：四边形中每一个内角都大于90°．
故选：D．
【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（ ）
A．-7 B．-1 C．1 D．7
【答案】B
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=3,b=4
∴
②AB为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-1,b=2
∴
③AC为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-3,b=-4
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
5．有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲、乙两组数据的方差分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．2＜
【答案】A
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：×（11+12+13+14+15）=13，
×[（11-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（15-13）2]=2，
×（12+12+13+14+14）=13.2，
×[（12-13.2）2+（12-13.2）2+（13-13.2）2+（14-13.2）2+（15-13.2）2]=1.36，
∵2＞1.36，
∴s甲2＞s乙2．
故选：A．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（　　）
A．750cm3 B．1536cm3 C．2000cm3 D．2304cm3
【答案】A
【分析】先设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，列出方程，求出长方形盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算即可．
【详解】解：设剪掉的长方形盒子的高为xcm，根据题意得：
2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）＝550，
整理得：x2+20x﹣525＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣35（不合题意，舍去），
∴40﹣2x＝40﹣2×15＝10，20﹣x＝20﹣15＝5．
∴长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm，
此时长方体纸盒子的体积为：15×10×5＝750（cm3），
∴此时长方体纸盒子的体积为750cm3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积、长方体的体积公式；读懂题意，找到关键描述语，根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案．
【详解】解：根据题意，
可得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键．
8．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可得，进而得出，得出，由即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的加减法及平方根，能够根据已知条件得出是解决问题的关键．
9．图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】根据题意可知，结合，可知四边形ABCD是平行四边形，设B点坐标为，则C点坐标为，即可求出BC=，利用勾股定理可得，①利用菱形的性质即可判断；②根据正方形的性质，可知AB⊥AD，即有a=5，求出B点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，将四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，即可判断．
【详解】：∵BC⊥y轴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B点坐标为，则C点坐标为，结合A点坐标为(5,0)，
∴BC=，，
①当a=5时，BC=，AB=，此时AB＜BC，
当a=1时，BC=，AB=，此时AB＞BC，
随着a值的变化，显然存在AB=BC的情况，则平行四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若平行四边形ABCD是正方形，则AB⊥AD，此时A、B的横坐标相等，
∴a=5，此时BC=，AB=，AB≠BC，
故平行四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)，
当a=5时，BC=，AB=，
周长为：2(AB+BC)=，
当a=1时，BC=，AB=，
周长为2(AB+BC)=，
显然此时上述二者的周长不相等，故③错误；
④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，如图，
则有四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，
∴，
∵，，
∴，故面积为定值，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征．
10．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BFDE且交AG于点F，若AB = 4EF，则S正方形ABCD的值为（ ）
A．9:16 B．17:32 C．17:36 D．18:35
【答案】B
【分析】利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠BAF=∠ADE，则可判断△ABF≌△DAE（AAS），得AF=DE，BF=AE，设EF=x，AF=y，在Rt△ABF中，则勾股定理得出x与y的关系，进而计算阴影部分与正方形的面积，便可求得其面积比．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，BFDE，
∴BF⊥AG，
∴∠BFA=∠AED=90°，
∵∠BAF+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE，
设EF=x，AF=y，则AB=4EF=4x，
∴BF=AE=AF-EF=y-x，
∵AF2+BF2=AB2，
∴，
整理得，，
解得，（舍）或
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．已知a，b，c为三角形的三边长，a，b满足，若该三角形为直角三角形，则c的值为________．
【答案】5或
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得到，，再分类讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，即，，
当为直角边时，；
当为斜边时，；
故答案为：5或．
【点睛】本题考查勾股定理、二次根式有意义的条件、绝对值的非负性，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
12．如图，直线与反比例函数的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作轴交反比例函的图象于点E，连结，点B为y轴上一点，满足，且恰好平行于x轴．若，则k的值为________．
【答案】6
【分析】由等腰三角形的性质可得，即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，可设点A的坐标，进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出，进而利用全等三角形得出点E的横坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵坐标，再利用三角形的面积可得k的值．
【详解】解：如图，过点A作轴，交于点F，垂足为M，过点C作轴，垂足为N，
∵，
∴，
由于点A、点C在反比例函数的图象上，
可设点，即，，
∴，
∴点，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点E的横坐标为，
又∵点E在反比例函数的图象上，
∴点E的纵坐标为，
即，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键．
13．如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处．P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H．若，则______．
【答案】
【分析】如图，延长交于，由题意知，由折叠的性质可知，，则是的角平分线，，，由矩形的性质可知，由矩形的性质求得，证明四边形是矩形，则，在中，由勾股定理求的值，进而可得的值．
【详解】解：如图，延长交于，
由题意知，
由折叠的性质可知，，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
由矩形的性质可知，，，
∴，
∵ ，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出．
【详解】解：由折叠知．
∵，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
15．在平面直角坐标系xOy中，若点B与点关于点O中心对称，则点B的坐标为______．
【答案】（2，﹣3）
【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．
【详解】解：∵点A（-2，3）与点A关于原点O中心对称，
∴点B的坐标为：（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
16．九年级一班学生中，13岁的有5人，14岁的有30人，15岁的有5人，他们平均年龄是_______岁．
【答案】14
【分析】这里13岁的有5人，14岁的有30人，15岁的有5人，用他们的年龄和除以总人数即得．
【详解】解：∵5+30+5=40（人），
∴这班学生的平均年龄＝（岁）．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了计算加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的意义和计算方法．
17．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另外一个根是______．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系：，可得出，再进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为k，
则根据根与系数的关系得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的公式是解决此题的关键．
18．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ．
【答案】2018
【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案．
进行求值即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
三、解答题(共64分)
19．在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象都经过点．
(1)若，求的值．
(2)若点也在反比例函数的图象上．
①求，的函数表达式．
②若，求x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①，的函数表达式分别为，；②x的取值范围是或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据题意，求得a的值，从而得出，然后分别代入，，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
【详解】（1）解：若，则，
∵反比例函数的图象都经过点．
∴；
（2）解：①∵反比例函数的图象经过点．点也在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∴，，
解得，，
∴，的函数表达式分别为，；
②在中，令，则；
∵，，
∴若，则x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
20．计算
(1)2﹣+3
(2)
【答案】(1)
(2)﹣1
【分析】（1）先对2进行化简，再根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的性质和二次根式的乘法计算法则进行计算，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简和混合运算，熟练掌握以及二次根式的运算法则是解题的关键．
21．如图，在平行四边形中，分别平分和，交边于点E，F，线段相交于点M．
(1)求证：；
(2)若．则　 　．
【答案】(1)证明见解析
(2)21
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，由分别平分和，可得，由三角形内角和定理，可得，进而结论得证；
（2）由平行四边形的性质可知，，则，由分别平分，可得，即，，同理，由，可得，根据计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
故答案为：21．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．某校举办了一次汉字听写竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100； 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b 116 90%
(1)以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分
(2)小亮同学说：“这次竞赛我得了69分，在我们小组中属中游偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
(3)计算乙组成绩的优秀率，如果你是该校汉字听写竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加决赛，你会选择哪一组？并说明理由．
【答案】(1)60，68；
(2)甲组，理由见解析；
(3)10%，选择甲组，理由见解析．
【分析】（1）计算甲组的中位数，乙组的平均数，进而得出答案，
（2）根据中位数的意义，可以判断所在的组的中位数小于69，因此得出在甲组，
（3）用优秀人数除以总人数即可求出乙组的优秀率，从优秀率、合格率以及个人单项第一等方面说明理由．
【详解】（1）甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即a＝60，
（50＋60×3＋70×4＋80＋90）÷10＝68分，即b＝68，
故答案为：60，68；
（2）乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此乙组的中位数是70，小亮得了69分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于69，因此在甲组；
（3）乙组达到90分及以上的只有一人，所以优秀率为：，
选择甲组，两组的合格率相等，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的优秀率高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．
23．如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（）的图象上，对角线轴，且于点P，已知点B的横坐标为5．
(1)当时；
①若点P的纵坐标为4，求直线的函数表达式；
②若点P是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】(1)①，②四边形是菱形，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先分别求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；②根据轴得到，，求出，，得到，结合，，得到四边形是菱形；
（2）当四边形是正方形，则，求出，得到，从而表示出，根据，得到，由此得到．
【详解】（1）解：①如图1，∵，
∴反比例函数为，
当时，，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴ ，
∴ ，
∴直线的解析式为；
②四边形是菱形，
理由如下：如图2，
由①知，，
∵轴，
∴，
∵点P是线段的中点，
∴，
当时，由得，；由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记的交点为P，
∴，
当时，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形为平行四边形是解题的关键．
24．某商家购进一批产品，成本为元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元．
(1)求关于的函数关系式．
(2)当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？
【答案】(1)
(2)当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠
【分析】（1）结合题意，根据一次函数的性质，设关于的函数关系式为，通过计算即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，首先得到线上和线下的月利润总和，在结合题意列一元二次方程并求解，即可得到答案.
【详解】（1）∵售价每增加元，线下月销量就减少件，
∴设关于的函数关系式为
∵售价为元时，线下月销量为件，
∵，
∴，
∴关于的函数关系式为；
（2）根据题意，线上和线下的月利润总和
依题意得：，
整理得：，
∴
∴，，
要让顾客得到更多优惠，
∴
∴当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠．
【点睛】本题考查了一次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解.
25．（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②6；（3）
【分析】（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；②分别作点N关于的对称点，作于点H，根据对称性可得，然后根据等边三角形和直角三角形的性质，求出的长，即可；
（3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，
由对称性知，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，
由对称性知，
，
∴，
作于H，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
故答案为∶；
②如图，分别作点N关于的对称点，作于点H，
由对称得：，，
∴，
即当取得最小值时，点N与点H重合共线，
此时，
设与交于点F，
在正中，，
∴，
∴，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为6；
（3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，
在正方形中，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键．
26．如图，中，，于点O，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．
①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长；
②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）．
【答案】(1)，；
(2)①6或；②或
【分析】（1）由题意可得，再由勾股定理求得、即可；
（2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
当在线段上时，如图3，过作于，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论；
当在线段的延长线上时，过作于，同计算可得结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
由勾股定理可得，，
即，
（2）①分两种情况：
当时，过作于，如图1所示：
，
，
，
是的中位线，
；
当时，如图2所示：
在和中，
，
，
，
；
综上所述，的长为6或；
②分两种情况：
当在线段上时，过作于，如图3所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
；
当在线段的延长线上时，过作于，如图4所示：
同理得：，
，
，
同理得：是等腰三角形，
，
，
中，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键

浙教版2023年八年级下册期末模拟卷（含解析）