2023年甘肃省各地九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数(含解析)

2023年甘肃省各地九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·统考一模）对于二次函数．下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．顶点坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有两个交点
2．（2023·甘肃武威·统考三模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023·甘肃陇南·校考一模）在中，，，正方形的边长为1，将正方形和如图放置，与在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形和重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023·甘肃白银·统考二模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·甘肃张掖·校联考一模）二次函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题
6．（2023·甘肃武威·统考一模）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m．
7．（2023·甘肃武威·统考三模）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是__________米．
三、解答题
8．（2023·甘肃酒泉·统考二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．
(1)求抛物线的关系式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标；
10．（2023·甘肃白银·统考二模）如图，过点的抛物线的对称轴是直线，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行线交于点Q．
(1)求a、b的值；
(2)求的最大值；
(3)当是直角三角形时，求的面积．
11．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
12．（2023·甘肃张掖·校联考一模）如图，直线与，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，且交轴于另一点．
(1)求，两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)如图1，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点，使得最小，求出点的坐标；
(3)如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点（与，两点不重合），过点作轴于点，与线段交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标．
13．（2023·甘肃武威·统考一模）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：；
(3)当是等边三角形时，求P点的坐标．
14．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．
(1)求表示该抛物线的函数表达式：
(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
15．（2023·甘肃酒泉·统考一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
(3)落点P与坡顶C之间的距离为 m．
16．（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，抛物线的图象过点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数．,
∴抛物线开口向上，故A选项正确，不合题意；
∵，顶点坐标为，
故B选项正确，不合题意；
当时，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意，
∵时，，
即的图象与x轴有两个交点
故D选项正确，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．B
【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
3．C
【分析】利用勾股定理求出，按照，，，四个时间段，分别求出S与运动时间t的函数关系式，即可判断．
【详解】解：，，
，
①当时，如图1，设交于点H，
则，
，函数为开口向上的抛物线，当时，；
②当时，如图2，
设直线交于点，交于点H，
则，则，
，
函数为开口向下的抛物线，当时，；
③当时，
，
④当时，
同理可得：，为开口向下的抛物线；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准时间节点，列出不同时间段内S与运动时间t的函数关系式．
4．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
5．B
【分析】把二次函数化为顶点式，即可求出最小值．
【详解】解：∵，
∴，
当时，二次函数有最小值；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是正确的把二次函数的一般式化为顶点式．
6．5
【分析】以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度．
【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
∵点P是最高点，
∴设抛物线的解析式为：，
将点D坐标代入，可得：，
解得：，
∴，
令，解得：，，
∴点，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．
7．
【分析】先求出函数表达式，再求出点S和点T的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴点K的坐标是，
把代入得，
解得，
∴，
∵门的高度为1.5米，，
∴点S和点T的纵坐标均为1.5，
当时，，
解得，，
∴
则，
即横梁的长度是米．
故答案为：
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、求点的坐标，准确求出点S和点T的坐标是解题的关键．
8．(1)
(2)①；②
(3)存在，或
【分析】（1）点坐标代入解析式可求的值，由对称轴可求的值，即可求解；
（2）①先求出点，点，点的坐标，利用待定系数法可求解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．
理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
9．(1)
(2)的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交轴于点，交于点，先求出直线的解析式，表示出P、F的坐标，进而求出的长，利用即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴，交轴于点，交于点，
当时，，
∴，
设直线的解析式为 ，
将，代入得：
，解得： ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，，
∴的坐标为或；
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）求出直线的解析式，设，则，则可得关于x的二次函数，即可求得的最大值；
（3）设D点的坐标为，求出，分三种情况考虑，利用勾股定理建立方程求出m的值，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵过点的抛物线的对称轴是直线，
∴，解得,
故．
（2）解：设直线过点，可得直线．
由（1）可得抛物线，
设，则，
∴，
∴当时，最大，最大值为．
（3）解：设点C的坐标是．由（1）可得抛物线，
∴抛物线的顶点D的坐标是，点B的坐标是．
则，，，
①当时，有．
∴，解得，
∴．
②当时，有．
∴，解得，
∴．
③当时，有．
∴，此方程无解．
综上所述，当为直角三角形时，的面积是或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，涉及分类讨论的思想，综合运用这些知识是解题的关键．
11．(1)
(2)，
(3)2或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，可得的周长的最小值为；
（3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可．
【详解】（1）将代入，
∴，
解得，
∴；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B点关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，
当时，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
（3）设，
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：M点横坐标为2或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
12．(1)，，抛物线的解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）令，可求出点的坐标，令，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求；
（3）设，则,，则，，由题意可知：点是线段的三等分点，分或两种情况讨论即可．
【详解】（1）令，得，即：
令，得，解得，
即：，
把两点坐标代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求，
联立，解得
∴
（3）设，则，，
∴，
由题意可知：点是线段的三等分点
∴或
①当时，，即：
解得：
经检验：不合题意舍去
∴
②当时，，即：
解得：，
经检验：不合题意舍去
∴
由①②可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式、线段和最值问题、动点问题，解题的关键是表示的坐标及列方程解决问题．
13．(1)二次函数的解析式为；
(2)见解析
(3)点P的坐标为或．
【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）利用勾股定理求出，表示出，可得；
（3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为，
将点A代入得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：设P ，
∵F，
∴，
∵，且点M在直线上，
∴，
∴；
（3）解：当是等边三角形时，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴满足条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．
14．(1)抛物线函数表达式为或
(2)m
【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，代入解析式，解得．
【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，
因此可设该抛物线的函数表达式为，
由题意得，该抛物线经过点，可得，
解得，
∴该抛物线函数表达式为或．
（2）当时，，解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)50
【分析】（1）由待定系数法解答；
（2）由正切定义解得OB＝80，继而求得直线BC的解析式，设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，由d＝y－y1得到二次函数，再利用配方法求最值；
（3）求直线与抛物线的交点，转化为求一元二次方程的解，再根据三角形中位线的性质解得HC，PH的长，最后根据勾股定理解答．
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
将（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，
解得
∴二次函数的表达式为；
（2）设线段BC表示的y1与x之间的函数表达式为y1=kx＋b（k为常数，k≠0），
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
∴tan∠CBO＝tan α＝
∵OC＝60，
∴OB＝80
将C（0，60），B（80，0）代入y1=kx＋b可得，
解得
∴线段BC表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝x＋60（0≤x≤80）
设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，
则d＝y－y1＝－x2＋x＋70－(x＋60)＝－x2＋x＋10＝－ (x－18)2＋
∴当x＝18时，d的最大值为.
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离为 m.
（3）
或（舍去）
即P=40，
过点P作PH//x轴，PH=40
又OB=80
是的中位线
故答案为：50．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、配方法、勾股定理、中位线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为
【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量．
（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得：
∴抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称
∵当C、P、B在同一直线上时，最小
最小
设直线BC解析式为
把点B代入得：，解得：
∴直线BC：
∴点使的周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件的点M，使得．
∵
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方
，设直线AP解析式为
解得：
∴直线
∴直线CM解析式为：
解得：（即点C），
∴点M坐标为
【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

2023年甘肃省各地九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数(含解析)