2023年八年级下册数学平行几何专题（含答案）

2023初二下数学平行几何专题
一．动点最值问题
1．如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值是（　　）
A．15 B．22 C．18 D．17
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，点E是对角线AC上一动点，点F是边CD上一动点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
3．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC+PE的值最小，则这个最小值为（　　）
A．5 B．2 C． D．
4．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝11，∠B＝45°，点M是AB边上，且，点P、Q分别是BC、AC边上动点，则MP+PQ的最小值是（　　）
A． B．5 C．9 D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点M，N，P分别在AD，BC，AB上运动，且四边形ABNM的面积始终等于24，则PM+PN的最小值是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的动点，则PE+PF的最小值是（　　）
A．2 B．1.5 C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（　　）
A．50° B．70° C．90° D．100°
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（　　）
A．122° B．64° C．62° D．58°
9．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　）
A．72° B．36° C．108° D．38°
10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
二．平行四边形判定与性质
11．请叙述三角形的中位线定律，并证明．
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2.5，AE＝3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG＝∠AGE．
13．如图，平行四边形ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E、F分别在BC、AC上，BE＝CF，AE＝BF交于点G．
（1）求∠EGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG＝AG+BG．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，点E，F分别在边BC，CD上，
且BE＝DF＝AD，AF与DE交于点G．
（1）求证：AB＝BF．
（2）当AB＝5，AD＝2，求DG的长．
15．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
16．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
17．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠C＝90°，CD＝8cm，BC＝24cm，AD＝26cm，点P从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点A同时出发，以3cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，需经过多少时间能使四边形ABPQ为平行四边形？并说明理由．
课后练习
18．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（　　）
A．118° B．125° C．136° D．124°
19．如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，△ABC的面积为18，AB＝9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．9
20．如图，在五边形ABCDE中，∠AMN+∠ANM＝84°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠BAE的度数为（　　）
A．96° B．106° C．126° D．138°
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．
求证：（1）ED⊥CA；（2）EF＝EG；（3）EH＝EG．
三．特殊四边形的判定与性质
22．如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC＝1：2：3，请利用旋转知识，证明∠APB＝135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连接PP′）．
23．如图，已知矩形ABCD，延长CB至E，使CE＝AC，F为AE的中点，求证：BF⊥DF．
24．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
25．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．
26．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，点G在CD的延长线上，且BE＝CF＝DG．以线段AE、AG为两邻边作 AEHG．
（Ⅰ）求证：四边形BEHF是平行四边形．
（Ⅱ）若四边形ABCD与AEHG的面积分别为16，18，试求四边形BEHF的面积．
27．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF＝AE；
（2）当AB＝2时，求AF的值．
28．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP＝6，求AE+AF的值．
29．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边BC，DC上，BE＝DF，∠EAF＝60°，点G在DC上，且∠AGC＝120°，EG平分∠AGC，连接AG．
（1）若AE＝2，求EC的长．
（2）求证：AG＝EG+FG．
30．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
31．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
32．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
33．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　 　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
34．如图：已知E、F分别是正方形的边AB、AD中点，DE，CF相交于P，DE的延长线交CB的延长线于G，若正方形的边长为6cm，求PB的长．
35．如图，已知E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
36．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
（1）求证：DE＝BF；
（2）如果∠BDE＝40°，求∠DBF；
（3）求证：S四边形BCDG＝CG2．
参考答案与试题解析
1．如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值是（　　）
A．15 B．22 C．18 D．17
【解答】解：设△BPC中BC边上的高是h，
∵S△PBC＝30，BC＝15，
∴BC h＝30，
∴h＝4，
∴动点P在与CB平行且与CB的距离是4的直线l上，
过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离之和PB+PC的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝15，B′B＝8，
∴B′C＝＝17，
故选：D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，点E是对角线AC上一动点，点F是边CD上一动点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长，
∵∠BAD＝60°，AD＝2，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCF'＝60°，BC＝AD＝2，
∴在Rt△BCF'中，BC＝2，∠BCF'＝60°，
∴∠CBF′＝30°，
∴CF′＝1，
∴BF'＝；
故选：A．
3．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC+PE的值最小，则这个最小值为（　　）
A．5 B．2 C． D．
【解答】解：连接AC，PA，AE，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A和点C关于BD对称，
∴PE+PC＝PE+PA，
∵当AE⊥BC时，点A到BC的距离最短，
∴当AE⊥BC时，此时AE于BD的交点为P时，PE+PA＝AE，PC+PE的值最小，
∵菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，
∴∠ABE＝60°，AB＝2cm，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝1（cm），
∴AE＝＝＝（cm），
即PC+PE的最小值是，
故选：D．
4．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝11，∠B＝45°，点M是AB边上，且，点P、Q分别是BC、AC边上动点，则MP+PQ的最小值是（　　）
A． B．5 C．9 D．
【解答】解：过点B作EB⊥AB交AC的延长线于点E，在BE上截取BN，使得BN＝BM＝，过点N作NJ⊥AE于点J．连接PN．
∵∠ABC＝45°，BE⊥AB，
∴∠ABC＝∠EBC＝45°，
∵BM＝BN，
∴M，N关于BC对称，
∴PM＝PN，
∴PM+PA＝PN+PQ≥NJ，
∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝11，
∴BE＝AB tan60°＝11，
∵BN＝，
∴EN＝EB﹣BN＝10，
∵∠E＝30°，NJ⊥AE，
∴NJ＝EN＝5，
∴PM+PQ，
∴PM+PQ的最小值为5．
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点M，N，P分别在AD，BC，AB上运动，且四边形ABNM的面积始终等于24，则PM+PN的最小值是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：作M关于AB的对称点M'，连接M'N，延长CB，使BE＝AM'，
∴PM＝PM'，∠BAM'＝90°，
∴PM+PN＝PM'+PN，
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AM∥BE，
∴四边形ABEM'是平行四边形，
又∠BAM'＝90°，
∴四边形ABEM'是矩形，
∴∠E＝90°，EM'＝AB＝6，
∵四边形ABNM的面积等于24，由题意可知：四边形ABNM是直角梯形，
∴，
∴AM+BN＝8，
∴AM'+BN＝BE+BN＝EN＝8，
∴，
∴PM+PN＝PM'+PN≥M'N，即PM+PN的最小值为10，
故选：A．
6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的动点，则PE+PF的最小值是（　　）
A．2 B．1.5 C． D．
【解答】解：如图，作E关于AC的对称点T，连接PT，FT，过D作DH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是菱形，E，T关于AC对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT，
当ET⊥AB时，PE+PF取最小值．
∵∠B＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴DH＝ADsin60°＝2×＝，
∴ET＝，
即PE+PF的最小值为．
故选：D．
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（　　）
A．50° B．70° C．90° D．100°
【解答】解：作C点关于AD的对称点E，C点关于AB的对称点F，连接EF交AD于N′点，交AB于M′，如图，
∴N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴CN′+M′N′+CM′＝N′E+N′M′+M′F＝EF，
∴此时△MCN的周长最小，
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，
∴∠BCD＝140°，
∵N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴∠E＝∠N′CE，∠F＝∠M′CF，
∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，
∴∠N′CE+∠M′CF＝40°，
∴∠M′CN′＝∠ECF﹣（∠N′CE+∠M′CF）＝140°﹣40°＝100°，
即△MCN的周长最小时，∠MCN为100°．
故选：D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（　　）
A．122° B．64° C．62° D．58°
【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝58°，
∴∠ADC＝122°，
设∠MDN＝α，
∴∠ADN+∠CDM＝122°﹣α，
∴∠DNM+∠DMN＝2（122°﹣α），
∴a+2（122°﹣α）＝180°，
解得：α＝64°，
故选：B．
9．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　）
A．72° B．36° C．108° D．38°
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝108°，
∴∠HAA′＝72°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°，
∴∠MAN＝36°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：作C点关于BD的对称点H，过H作HF⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝HE+EF≥HF，
∴CE+EF的最小值是HF的长，
∴CH⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBG＝∠GBC，
在△HBG和△CBG中，
，
∴△HBG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BH，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝4∠A，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，BH＝BC＝8，
在Rt△BFH中，，
∴CE+EF的最小值为4，
故选：B．
11．请叙述三角形的中位线定律，并证明．
【解答】解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
理由：如图，延 长DE 到 F，使EF＝DE，连 结CF、DC、AF
∵AE＝CE DE＝EF
∴四边形ADCF为平行四边形
∴AD∥CF，AD＝CF
∵AD＝BD，
∴BD∥CF，BD＝CF，
∴四边形BCFD为平行四边形
∴BC∥DF，BC＝DF
∴DE∥BC 且 DE＝BC
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2.5，AE＝3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG＝∠AGE．
【解答】（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2.5，
∴DC＝CE＝2CF＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝4；
（2）证明：解法一、过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG＝CF，CE＝CD，
∵CE＝2CF，
∴CD＝2CG，
即G为CD中点，
∵AD∥GM∥BC，
∴M为AE中点，
∴AM＝EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），
∵GM⊥AE，
∴AG＝EG，
∴∠AGM＝∠EGM，
∴∠AGE＝2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM＝∠CEG，
∴∠CEG＝∠AGE；
解法二、延长AG，交BC延长线于M，
在△ECG和△DCF中，
，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CF＝CG，
∵CE＝CD，F为CE的中点，
∴DG＝CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADG＝∠MCG，
在△ADG和△MCG中，
，
∴△ADG≌△MCG（ASA），
∴AG＝MG，
∵∠AEC＝90°，
∴EG＝AM＝GM，
∴∠GEC＝∠M，
∵∠AGE＝∠GEC+∠M，
∴∠CEG＝∠AGE．
13．如图，平行四边形ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E、F分别在BC、AC上，BE＝CF，AE＝BF交于点G．
（1）求∠EGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG＝AG+BG．
【解答】（1）解：∠C＝60°，AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠FBC，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°；
（2）证明：延长GE至点H，使GH＝GB，如图，
∵∠BGE＝60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵∠ABH＝∠GBH+∠ABG，∠DBG＝∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH＝∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，
，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG＝AH，
而AH＝AG+GH，
∴DG＝AG+BG．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，点E，F分别在边BC，CD上，
且BE＝DF＝AD，AF与DE交于点G．
（1）求证：AB＝BF．
（2）当AB＝5，AD＝2，求DG的长．
【解答】解：（1）证明：
∵BC＝CD，BE＝DF，
∴CF＝CE，
在△BCF与△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE，
∴BF＝DE，
∵AD∥BC，BE＝AD，
∴四边形ABED是平行四边形；
∴AB＝DE，
∴AB＝BF．
（2）由（1）可得AB＝DE＝5，设EC＝FC＝x，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2+（x+2）2＝（5）2，
解得：x＝，
延长AF交BC延长线于点H，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠H，
∵AD＝DF，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠H，
∴FC＝CH，
∵EH＝2x＝2，
∴AD＝EH，
∵AD∥BC，
∴DG＝EG，
∴DG＝DE＝．
15．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
【解答】（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，
则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM交EF于D，
∵∠ABC＝∠CEF＝90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM＝∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM＝MF，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB＝DF，
∵BE＝CE﹣BC，DE＝EF﹣DF，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM＝45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，
∴∠EBM＝∠ECF，
∴MB∥CF；
（2）解法一：
如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，
∴BM＝DF．
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝a，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，
∴ME＝AG．
∵CG＝CF＝a，CA＝CD＝a，
∴AG＝DF＝a，
∴BM＝ME＝×a＝a．
解法二：如答图1b．
∵CB＝a，CE＝2a，
∴BE＝CE﹣CB＝2a﹣a＝a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM＝DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM＝ME＝BE＝a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝BD，AC＝CD，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．
在△ACG与△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF＝AG，
∴BM＝ME．
证法二：
如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，
∵∠BCE＝45°，
∴∠ACD＝45°×2+45°＝135°
∴∠BAC+∠ACF＝45°+135°＝180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM＝∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM＝FM，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB＝DF，BM＝DM，
∴AB＝BC＝DF，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM＝DM，
∴BM＝ME＝BD，
故BM＝ME．
16．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【解答】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP＝tcm，PD＝（24﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP＝BQ，
∴t＝30﹣2t，
解得：t＝10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD＝CQ，
∴24﹣t＝2t，
解得：t＝8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
17．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠C＝90°，CD＝8cm，BC＝24cm，AD＝26cm，点P从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点A同时出发，以3cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，需经过多少时间能使四边形ABPQ为平行四边形？并说明理由．
【解答】解：设需经过t s，能使四边形ABPQ为平行四边形．
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴AQ＝PB，
由题意可知AQ＝3t，PB＝BC﹣PC＝AQ＝24﹣t．
∴3t＝24﹣t
∴t＝6．
∴需经过6 s能使四边形ABPQ为平行四边形．
18．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（　　）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵BP＝BP，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图所示：
∵∠AEB＝90°，∠ABE＝68°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝22°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝124°．
故选：D．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，△ABC的面积为18，AB＝9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．9
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，交BD于E′点，过E′点作E′F′⊥BC，垂足为F′，则CE′+E′F′为所求的最小值，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴E′H＝E′F′，
∴CH是点C到直线AB的最短距离（垂线段最短），
∵△ABC的面积为18，AB＝9，
∴CH＝＝4，
∴CE+EF的最小值是CE′+E′H＝CH＝4．
故选：A．
20．如图，在五边形ABCDE中，∠AMN+∠ANM＝84°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠BAE的度数为（　　）
A．96° B．106° C．126° D．138°
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，
∴AM＝PM，AN＝QN，
∴∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，
∴△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，
由轴对称确定最短路径，PQ的长度为△AMN的周长的最小值，
∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q），
∵∠AMN+∠ANM＝84°，
∴∠P+∠Q＝42°，
∴∠BAE＝180°﹣42°＝138°，
故选：D．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．
求证：（1）ED⊥CA；
（2）EF＝EG；
（3）EH＝EG．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴OD＝AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA；
（2）∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD，
∴EG＝CD，
∴EF＝EG；
（3）连接FG，
∵EF∥CD，EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EH＝HG，
∴EH＝EG．
22．如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC＝1：2：3，请利用旋转知识，证明∠APB＝135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连接PP′）．
【解答】证明：如图，画出旋转后的图形，并连接PP′．
设PA＝x，PB＝2x，PC＝3x，
∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BP′C，
∴△BP′C≌△BPA，∠APB＝∠BP′C，BP＝BP′，∠ABP＝∠CBP′，
∴△BP′P为等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，
∵PB＝BP′＝2x，
∴PP′＝＝2 x，
∵PC＝3x，CP′＝PA＝x，
∴PC2＝PP′2+CP′2，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠BP′C＝∠BP′P+∠PP′C＝45°+90°＝135°．
23．如图，已知矩形ABCD，延长CB至E，使CE＝AC，F为AE的中点，求证：BF⊥DF．
【解答】证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF＝∠EBF，∠E＝∠MAF，又FA＝FE，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM＝BE，FB＝FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC＝BD，AD＝BC，
∴BC+BE＝AD+AM，即CE＝MD，
∵CE＝AC，
∴AC＝BD＝DM，
∵FB＝FM，
∴BF⊥DF．
24．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF＝CD＝5，
∵BC＝3，
∴BF＝＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，
解得AG＝．
25．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．
【解答】证明：连接MD、ME．
∵BD是△ABC的高，M为BC的中点，
∴在Rt△CBD中，MD＝BC，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半）
同理可得ME＝BC，
∴MD＝ME，
∵F是DE的中点，（等腰三角形三线合一）
∴FM⊥DE．
26．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，点G在CD的延长线上，且BE＝CF＝DG．以线段AE、AG为两邻边作 AEHG．
（Ⅰ）求证：四边形BEHF是平行四边形．
（Ⅱ）若四边形ABCD与AEHG的面积分别为16，18，试求四边形BEHF的面积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形BCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠BCF＝∠ADG＝90°，
∵BE＝CF＝DG，
∴△ABE≌△BCF≌△ADG，
∴AE＝BF＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
∵四边形AEHG是平行四边形，AG＝AE，∠EAG＝90°，
∴四边形AEHG是正方形，
∵∠BAE＝∠CBF，∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴AE⊥BF，∵EH⊥AE，
∴BF∥EH，∵BF＝AG＝EH，
∴四边形BEHF是平行四边形．
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD与AEHG的面积分别为16，18，四边形ABCD与AEHG都是正方形，
∴AB＝4，AE＝3，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CF＝BE＝，
∴S平行四边形BEHF＝BE CF＝2．
27．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF＝AE；
（2）当AB＝2时，求AF的值．
【解答】（1）证明：如图，连接CF，
在Rt△CDF和Rt△CEF中，，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴DF＝EF，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠EAF＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，
∴DF＝AE；
（2）解：∵AB＝2，
∴AC＝AB＝2，
∵CE＝CD，
∴AE＝2﹣2，
过点E作EH⊥AB于H，
则△AEH是等腰直角三角形，
∴EH＝AH＝AE＝×（2﹣2）＝2﹣，
∴AE＝EH＝2﹣2，
∴AF＝AE＝4﹣2．
28．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP＝6，求AE+AF的值．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，
∵PE＝PF，
∴FG＝EG＝EF＝2，∠FPG＝∠EPG＝∠EPF，
在△FPG中，sin∠FPG＝＝＝，
∴∠FPG＝60°，
∴∠EPF＝2∠FPG＝120°；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，DC＝BC，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴PM＝PN，
在Rt△PME与Rt△PNF中，
，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴FN＝EM，
在Rt△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝∠DAB＝30°，
∴AM＝AP cos30°＝3，同理AN＝3，
∴AE+AF＝（AM﹣EM）+（AN+NF）＝6．
29．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边BC，DC上，BE＝DF，∠EAF＝60°，点G在DC上，且∠AGC＝120°，EG平分∠AGC，连接AG．
（1）若AE＝2，求EC的长．
（2）求证：AG＝EG+FG．
【解答】（1）解：连接EF，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝DC＝BC，
∠B＝∠D＝∠C＝90°
且BE＝DF
∴△ABE≌△ADF．
∴AE＝AF．
且∠EAF＝60°
∴△AEF是等边三角形．
∴AE＝EF＝2
又∵CE＝BC﹣BE，CF＝DC﹣DF
∴CE＝CF．
∴△ECF是等腰直角三角形．
∴EC＝；
（2）证明：在AG上取点M，使GM＝GE，连接EM．
∵EG平分∠AGC，且∠AGC＝120°．
∴∠AGE＝60°．
∴△EGM是等边三角形．
∴EM＝EG＝GM，∠MEG＝∠EMG＝∠MGE＝60°．
又∵∠AEM+∠MEF＝60°，∠GEF+∠MEF＝60°
∴∠AEM＝∠GEF，∠AME＝∠EGF＝120°，
在△AEM和△FEG中，
，
∴△AEM≌△FEG．
∴AM＝GF
∵AG＝AM+GM．
∴AG＝FG+EG．
30．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【解答】证明：（1）连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°，
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴EC＝CF，
∴BE＝DF；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，
∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
31．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO平分∠AEC（三线合一），
∴∠AED＝∠AEC＝×60°＝30°，
又∵∠AED＝2∠EAD
∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠DAE+∠DEA＝15°+30°＝45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
32．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
33．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　5　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
【解答】解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
34．如图：已知E、F分别是正方形的边AB、AD中点，DE，CF相交于P，DE的延长线交CB的延长线于G，若正方形的边长为6cm，求PB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴AE＝BE＝DF，
∵在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠CPD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CPG＝90°，
∵G在CB的延长线上，
∴∠EBG＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠A＝∠EBG，
∵在△ADE和△BGE中，
，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴AD＝BG，
∴PB是△PCG的中线，
∵正方形的边长为6cm，
∴CG＝6+6＝12cm，
∴PB＝CG＝×12＝6cm．
35．如图，已知E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∵，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴BE＝EC，AE＝EF，
又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠ABC+∠EAB，
∴∠ABC＝∠EAB，
∴AE＝BE，
∴AE+EF＝BE+EC，即AF＝BC，
则四边形ABFC为矩形．
36．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
（1）求证：DE＝BF；
（2）如果∠BDE＝40°，求∠DBF；
（3）求证：S四边形BCDG＝CG2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，
∵AB＝BD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠ADB＝60°，
在△ADE和△DBF中
，
∴△ADE≌△DBF，
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠ADE＝60°﹣40°＝20°，
∵△ADE≌△DBF，
∴∠DBF＝∠ADE＝20°；
（3）证明：延长GB到M使BM＝DG，连接CM，如图，
∵∠CBD＝60°，
∴∠DBF+∠CBM＝120°，
∵∠CDG+∠ADE＝120°，
而∠DBF＝∠ADE，
∴∠CDG＝∠CBM，
在△CDG和△CBM中，
，
∴△CDG≌△CBM，
∴S△CDG＝S△CBM，∠DCG＝∠BCM，CG＝CM，
∴∠GCM＝∠DCB＝60°
∴△CGM为等边三角形，
∴S四边形BCDG＝S△CGM＝CG2．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023年八年级下册数学平行几何专题（含答案）