湖南省衡阳市第十七中学2023年中考数学二模试卷（含解析）

湖南省衡阳市第十七中学2023年中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列运算或变形正确的是
A. B.
C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是
A. B.
C. D.
4. 某中学足球队的19名队员的年龄如表所示：
年龄单位：岁 12 13 14 15
人数 3 5 6 5
这19名队员年龄的众数和中位数分别是
A. 13岁，14岁 B. 14岁，14岁 C. 14岁，13岁 D. 14岁，15岁
5. 某种商品售价200元件，经过两次降价后的价格为128元件，则平均每次降价的百分率为
A. B. C. D.
6. 已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是
A. B. C. D.
7. 王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支元，笔记本每本元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为两样都买，钱恰好花完
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 如图，菱形ABCD中，，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：：2，则AH：AC的值为
A.
B.
C.
D.
9. 如果直线与两坐标轴围成的三角形面积等于2，则b的值是
A. B. C. D.
10. 如图，四边形ABCD中，
A.
B.
C. H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEO
D. 四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为

A.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 经过多年的成长，中国城市观众到影院观影的习惯已经逐渐养成：2016年，某影院观众人次总量才23400，但到2017年已经暴涨至其中1370000用科学记数法表示为______．
12. 式子中x的取值范围是______．
13. 如图，矩形ABCD的面积为，对角线交于点O；以AB，AO为邻边做平行四边形，对角线交于点；以AB，为邻边做平行四边形；；依此类推，则平行四边形的面积______ ．
14. 一副去掉大小王的扑克牌共52张，洗匀后，摸到红桃的机会______ 摸到J，Q，K的机会填“，或”
15. 不等式组有解，则a的取值范围是______ ．
16. 如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是的直径，则为______度．
17. 若圆锥的侧面积是，母线长是8cm，则该圆锥底面圆的半径是______cm．
18. 如图，AB是的直径，点D在AB的延长线上，DC切于C，若，则 ______．
19. 已知是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是______ ．
20. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分面积
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）
21. 先化简，再求值：
当时，求的值；
设，求的值．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
若经过平移后得到，已知点C的应点的坐标为，画出并写出顶点A，B对应点，的坐标；
将绕着点O按顺时针方向旋转得到，画出．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和点，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转至点B对应点，点C恰好落在抛物线上．
求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
求点P的坐标；
点Q在抛物线上，联结AC，如果，求点Q的坐标．
24. 中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩成绩x取整数，总分100分作为样本进行整理，得到下列统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别 海选成绩x
A组
B组
C组
D组
E组
请根据所给信息，解答下列问题：
请把图1中的条形统计图补充完整；温馨提示：请画在答题卷相对应的图上
在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为，则a的值为______ ，表示C组扇形的圆心角的度数为______ 度；
规定海选成绩在90分以上包括90分记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？
25. 超市为减小A商品的积压，决定采取降价销售的策略，若某商品的原价为52元，随着不同幅度的降价，日销量单位为件发生相应的变化如表：
降价元 1 2 3 4 5 6
日销量件 155 160 165 170 175 180
这个表反映了______ 和______ 两个变量之间的关系；
从表中可以看出每降价1元，日销量增加______ 件；
可以估计降价之前的日销量为______ 件；
设日销量为y件，降价为x元，则y与x的函数关系式为______ ；
当售价为44元时，日销量为______ 件．
26. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
当A、B、C三点在同一直线上时如图，求证：M为AN的中点；
将图1中绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上如图，求证：为等腰直角三角形；
将图1中绕点B旋转到图3的位置时，中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．
27. 某开发区去年出口创汇额为25亿美元，今年达到亿美元，已知今年上半年出口创汇额比去年同期增长，下半年比去年同期增长，求去年上半年和下半年的出口创汇额各是多少亿美元？
28. 已知：在 ABCD中，，，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作于G，延长DG交BC于H
如图1，若点E与点C重合，且，求AD的长；
如图2，连接FH，求证：；
如图3，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：A、，故本选项错误；
B、原式，故本选项错误；
C、原式，故本选项正确；
D、原式，故本选项错误；
故选：C．
根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方计算法则解答．
本题考查了单项式的乘法，因式分解等知识点，属于基础计算题，熟记计算法则解题即可．
2.答案：C
解析：
此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：C．
3.答案：A
解析：解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，
所以其主视图为：
故选：A．
由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.答案：B
解析：解：由表可知14岁出现次数最多，有6次，所以众数为14岁；
这组数据的中位数为第10个数据，即中位数为14岁，
故选：B．
首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这19名队员年龄的众数；然后根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这19名队员年龄的中位数是多少即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.答案：D
解析：解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：D．
设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.答案：D
解析：解：解方程得，
由题意知，
解得，
故选：D．
解方程得，由解为非负数知，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7.答案：C
解析：
此题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清楚题意，找到题中的等量关系，列出方程解答问题．
设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：，进而求出即可．
解；设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：
，
整理得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，共有8种购买方案．
故选C．
8.答案：B
解析：解：连接BD，如图，
四边形ABCD为菱形，
，，，
，
，
而，
四边形BDEF为平行四边形，
，
由AE：：2，设，，，
：：：5，
，
∽，
：：：5，
：：6．
故选：B．
连接BD，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形BDEF为平行四边形得到，设，，，所以AE：：5，然后证明∽得到AH：：：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质和菱形的判定
9.答案：C
解析：解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
当时，，
点B的坐标为；
当时，，
解得：．
，
，
．
故选：C．
设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，B的坐标，利用三角形的面积公式结合的面积为2，可得出关于b的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征找出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
10.答案：B
解析：如图，连接OC，OB，OA，OD，
、F、G、H依次是各边中点，
和等底等高，所以，
同理可证，，，，
，
，，，
，
解得．
故选B．
11.答案：
解析：解：1370000用科学记数法表示为，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.答案：
解析：解：式子中x的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用分式的定义进而分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
13.答案：
解析：解：设矩形ABCD的面积为S，
根据题意得：平行四边形的面积，
平行四边形的面积，
平行四边形的面积，
，
平行四边形的面积为．
故答案为：．
根据矩形、平行四边的性质和面积公式可得：平行四边形的面积，平行四边形的面积，，根据规律计算，即可得出结果．
本题考查了矩形、平行四边形的性质和面积公式，根据题意找出规律是本题的关键．
14.答案：
解析：解：一副去掉大小王的扑克牌共52张，洗匀后，摸到红桃的机会为；
因为一副去掉大小王的扑克牌共52张共有J，Q，K，12张，摸到J，Q，K的机会；
摸到红桃的机会大于摸到J，Q，K的机会．
用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
15.答案：
解析：解：不等式组有解，
，
．
故答案为．
先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组有解列出关于a的不等式，求解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
16.答案：30
解析：解：圆内接四边形ABCD由四个全等的等腰梯形组成，
，
、、的度数都是，
．
故答案为：30．
由于圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，所以，即B、C是半圆AD的三等分点，由此可求得弧BC的度数，根据圆周角定理即可得到的度数．
此题主要考查了全等图形的性质，等腰梯形的性质，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理的应用；能够根据已知条件判断出弧BC的度数是解决问题的关键．
17.答案：6
解析：解：设圆锥底面圆的半径是rcm．
由题意，，
解得，，
故答案为6．
利用圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查圆锥的计算，扇形的面积等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积为底面半径，l为母线长．
18.答案：40
解析：
本题考查了直径所对的圆周角等于、弦切角定理、三角形外角性质．解题的关键是连接BC，构造直角三角形先连接BC，由于AB是直径，可知，而，易求，又DC是切线，利用弦切角定理可知，再利用三角形外角性质可求．
解：如右图所示，连接BC，
是直径，
，
又，
，
是切线，
，
．
故答案为40．
19.答案：
解析：解：如图，过C作轴于H，过A作轴于F，轴于G，过D作于E，
，
，，
四边形ABCD是矩形，
，
，
∽，
，
，
，，
点C的横坐标是a，
，
：：2，
，，
∽，
，
在与中，，
≌，
，，
，
故答案为：
如图，过C作轴于H，过A作轴于F，轴于G，过D作于E，于是得到，根据余角的性质得到，推出∽，根据相似三角形的性质得到，求得，，通过≌，得到，，求得，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
20.答案：4
解析：
本题考查三角形中线．利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分可求得答案．
解：点E是AD的中点，
的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，
则的面积是的面积的一半，即为8，
点F是CE的中点，
阴影部分的面积是的面积的一半，即为4．
21.答案：解：原式
，
当时，原式；
原式
，
当时，原式．
解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22.答案：解：如下图所示；的坐标为，的坐标为．
如下图所示：
解析：根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；
将三角形三顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转得到对应点，连接可得．
本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键．
23.答案：解：将点A、B坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
函数的对称轴为：；
设点，则，点，
如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作交抛物线对称轴于点M，
，，
，
，，
≌，
，，
，解得：，
故点，点；
故点P的坐标为；
设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，
由知，点，而点，
过点C作轴于点K，则，
故直线AC的倾斜角为，故，
，
；
在中，过点H作于点M，设，
，则，
，
，则，
，
解得：，
在中，，
在中，，故点，
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：，
联立并解得：舍去或，
故点Q的坐标为：
解析：将点A、B坐标代入抛物线表达式，即可求解；
证明≌，则，，即可求解；
设，用x表示AM、GM，利用，求出x的值；在中，，求得点H的坐标，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、解直角三角形等，本题的难点是用解三角形的方法求点H的坐标．
24.答案：解：的人数是：人，
补图如下：
，72；
根据题意得：
人，
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．
解析：
解：见答案；
组人数所占的百分比是，
则a的值是15；
C组扇形的圆心角的度数为；
故答案为：15，72；
见答案．
用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；
用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角的度数；
用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上包括90分所占的百分比，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25.答案：降价；日销量；
；
；
；
；
解析：
解：该表格反映了降价和日销量之间的关系，
故答案为：降价；日销量．
，
每降价1元，日销量增加5件．
故答案为：5．
降价之前的日销量为：件．
故答案为：150．
设y与x的函数关系式为，
将、代入中，
得：，解得：，
与x的函数关系式为．
故答案为：．
当售价为44元时，降价元，
将代入中，得：．
故答案为：190．
根据给定表格第一行和第二行的数据分别为降价元和日销量件，即可得出结论；
用相邻两个数据做差发现：每降价1元，日销量增加5件．由此即可得出结论；
结合的结论，用，算出结果即可；
设y与x的函数关系式为，在表格中选取两组数据，利用待定系数法即可求出结论；
根据降价原售价现售价，算出降价的钱数，再将其代入函数关系式中求出y值即可．
本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：根据表格的表头得出结论；根据表格数据直接计算；结合结论直接计算；利用待定系数法求函数关系式；求出x值，代入函数关系式中求出y值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据表格给定数据，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
26.答案：解：证明：如图1，，
，，
点M为DE的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
为AN的中点．
证明：如图2，和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，B，E三点在同一直线上，
，
，
≌已证，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
为等腰直角三角形．
仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，A、B、N三点在同一条直线上，
，，
，
，
，
、B、N三点在同一条直线上，
，
，
≌已证，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形．
解析：由和点M为DE的中点，可以证得≌，从而证得M为AN的中点；
根据已知条件，易证，，从而可得≌，进而可以证得，，可得为等腰直角三角形；
根据已知条件，易得≌，根据四边形BCEF内角和为，可得，从而可以证得≌，进而可以证得，，即可得出为等腰直角三角形．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识的综合应用，渗透了变中有不变的辩证思想，解决问题的关键是掌握等腰直角三角形的判定方法．
27.答案：解：
设去年上半年出口创汇额为x亿美元，去年下半年的出口创汇额为y亿美元，
则今年上半年出口创汇额为亿美元，今年下半年的出口创汇额为亿美元，
根据题意可列方程组，
解得，
答：去年上半年出口创汇额为10亿美元，去年下半年的出口创汇额为15亿美元．
解析：设去年上半年出口创汇额为x亿美元，去年下半年的出口创汇额为y亿美元，可表示出今年的上半年和下半年的出口创汇额，由条件可列出方程，求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确表示出种植两种作物的费用是解题关键．
28.答案：解：如图1中，，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
、C重合时，
在中，，
，
，，
在中，．
证明：如图2中，在AF上截取，连接BK，
，，
，
在ABK和中，
，
≌，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
结论．
理由：如图3中，延长FH、AB交于点N，作交FN于K．
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
，
，
．
解析：如图1中，利用等腰三角形的性质可得，利用平行四边形的性质可得F为BD中点，在中，由勾股定理可求得BF，则可求得AB，在中，再利用勾股定理可求得AD；
如图2中，在AF上截取，连接BK，可先证明≌，再证明≌，可证得结论；
如图3中，延长FH、AB交于点N，作交FN于K，首先证明，再证明，即可解决问题．
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．

湖南省衡阳市第十七中学2023年中考数学二模试卷（含解析）